полная версия

Анатолий Васильевич Молчанов
Население Земли как растущая иерархическая сеть

Краткие выводы

Какие из всего этого должны быть сделаны выводы? Т. к. мальтузианской составляющей естественного прироста пренебречь нельзя ни на каком этапе роста человеческой «популяции», рост ее, очевидно, не мог быть гиперболическим. Поскольку, как показывают многочисленные исследования, – это все-таки не так, необходимо признать, что дифференциальный закон, связывающий скорость роста и численность населения Земли, не может считаться законом причинным. И в соответствии с причинным законом dN/dt = N²/C не растет ни одна популяция в природе.

Как ни странно, точно такой же вывод можно было бы сделать и в том случае, если бы выяснилось, что численность населения Земли с начала новой эры до 1960 года росла с хорошей точностью не гиперболически, а экспоненциально. Дело в том, что на историческом этапе своего развития, особенно последние два столетия, человечество не было какой-то одной популяцией вида Homo sapiens sapiens, а представляло скорее конгломерат популяций, образованный различными как по численности, так и по естественному приросту составляющими^[274].

Поэтому по закону Мальтуса могли расти лишь отдельные страны или народы такие, как Америка в период освоения территорий. И даже если допустить, что численность каждого народа, этноса будет расти экспоненциально – из этого вовсе не следует, по изложенным выше соображениям (сумма экспонент с отличающимися коэффициентами прироста не может быть сведена к одной экспоненте), что численность человечества тоже будет расти экспоненциально. Вывод был бы точно таким же, как и в случае гиперболического роста: учитывая точность, с которой определился закон, его чрезвычайную простоту и неизменное для всего человечества время удвоения численности, его нельзя было бы считать причинным законом, а сам рост автокаталитическим, самоускоряющимся процессом.

Причины аномального гиперболического роста численности населения Земли заключаются, по-видимому, в многочисленных возникающих и исчезающих управляющих связях, которыми был охвачен социум во все времена. И, поскольку связи с такими парадоксальными свойствами, приводящие к простейшему из возможных гиперболическому росту, не могли возникать и поддерживаться спонтанно, сами по себе, то, очевидно, что они должны были обеспечиваться во все времена некой управляющей системой. И гиперболический рост населения Земли есть в таком случае рост «вынужденный», управляемый.

  Если же исключить существование реальной управляющей системы, стоящей над популяцией, а  сам термин «управляющая система» понимать лишь как метафору, можно предположить, что для авангардных систем универсальной эволюции должен существовать некий принцип, подобный принципу наименьшего действия в физике. Суть его в том, что всякая авангардная система, подчиняющаяся известным физическим законам, способна еще и к опережающему отражению действительности. Но не в обычном его понимании, когда это отражение не более, чем способность системы, используя накопленный опыт, оптимально реагировать на текущие задачи. А в смысле фейнмановского интеграла по траекториям, когда электрон движется сразу по всем возможным путям и обнаруживает себя в том или ином месте в соответствии с распределением их вероятностей.

Цель всякой авангардной системы эволюции – достичь очередного промежуточного, а затем и Абсолютного Финала. (Причем будущее (и даже отдаленное будущее) каким-то непостижимым образом может оказывать влияния на настоящее.) Движение в этом направлении – случайный, но постоянно подправляемый процесс с установкой к достижению промежуточных ранжированных целей. Дойдя до очередной промежуточной станции, госпожа Эволюция просматривает все возможные пути до следующей и случайным образом выбирает один из тех, что гарантированно приведет ее к Абсолютного Финалу.

В нашей модели причина гиперболического роста заключена в эквифинальном, плановом – по циклам Кондратьева – росте биниальной иерархической сети четвертого ранга. Рост популяций любых представителей животного мира, согласно нашей гипотезе, сопровождают сети, ранг которых не превышает трех. (Ранг сетей, связанных с человекообразными обезьянами, возможно, равен четырем, но эти сети автономны и не объединяются в растущую до пятого ранга сеть, подобную Сети человека.)

И в этом, по нашему мнению, состоит качественное отличие между любым представителем земной фауны и человеком. Поскольку уровень развития носителя связан с рангом и размером сопровождающей эволюцию сети, то на вопрос о том, есть ли сознание у животных, существует простой и ясный ответ: да, животные обладают сознанием, но независимо от сложности «аппаратной базы» (человекообразные обезьяны, дельфины, слоны), которая может даже превышать таковую человека, это сознание качественно отличается от человеческого, поскольку сети, связанные с их популяциями, имеют меньший ранг и не объединяются в иерархическую сеть более высокого ранга. (Не объединяются по той причине, что лидер уже существует и этот лидер должен быть один.)

Сеть третьего ранга содержит 256 узлов, сеть четвертого ранга – 65536, но сколько бы ни существовало таких автономных сетей они никак не могут сравниться с растущей сетью четвертого и тем более с сетью пятого ранга. Популяции домашних животных, единственные популяции высших животных в природе (не считая человека), численность которых может составлять десятки и даже сотни миллионов особей, связаны с автономными сетями низших рангов, поэтому сознание их представителей также несопоставимо с сознанием человека.

Всего лишь случайность?

Обычно считается, что к единичным и неповторяемым в одинаковых условиях событиям неприменимо само понятие вероятности. В статистическом смысле это действительно так. Тем не менее примеры такого применения существуют, например, в эволюционной биологии при подсчете вероятности зарождения жизни на Земле и в космологии – при попытках объяснить антропный принцип.

Для этого сравнивается мера множества всех, в том числе и нереализованных возможностей или даже несуществующих, но, как считается, возможных  миров с мерой возможностей или миров реализованных в действительности. Отношение второй меры к первой предлагается в качестве вероятности рассматриваемого события^[275].

 Все представленные здесь расчеты вероятности появления уникальных и неповторимых событий основаны на таком ее определении.

Прежде чем приступать к обсуждению проблемы случайного в эволюции, поднятой в этой книге, рассмотрим две чисто математические задачи, решение которых понадобится в дальнейшем: задачу бросания точки на числовую ось и задачу по оценке степени соответствия некоторой последовательности действительных чисел – геометрической прогрессии.

1. На сколь угодно длинный отрезок числовой прямой с отмеченными на нем целыми числами случайным образом бросается точка. Чему равна вероятность попадания этой точки в некоторую малую ε-окрестность произвольного целого числа, исходя из ее геометрического определения?

Считаем, что точка может попасть с одинаковой вероятностью на любые два отрезка равной длины, иначе говоря считаем распределение случайной величины – координаты попадания точки на отрезке прямой – равномерным. Поскольку точка обязательно окажется между двумя последовательными целыми числами, то эта вероятность, очевидно, равна 2ε (рис. 1). При ε = 0, P = 0; при ε = 0.5, p = 1. Другой вариант этой задачи сформулируем так: известно, что некоторое действительное число лежит в интервале [a − 0.5, a + 0.5), где а – целое число. Какова вероятность того, что оно окажется в ε-окрестности числа а^[276]. Ясно, что и в этом случае P =  2ε.

Рис.1. Вероятность попадания брошенной случайным образом на числовую ось (единичный интервал) точки в ε-окрестность целого числа.

Если же на числовую ось случайным и независимым образом бросить не одну, а n точек, то вероятность того, что каждая из них окажется в в ε-окрестности некоторого целого числа равна произведению вероятностей отдельных событий: P = (2ε)ⁿ.

В более общем случае это может быть сформулировано так: на числовую ось последовательно и независимо бросается n точек. Какова вероятность того, что дробная часть случайной координаты каждой из этих точек будет принадлежать  ε-окрестности некоторого наперед заданного остатка? Если сдвинуть числовую ось на величину данного остатка, то эта задача сводится к предыдущей, следовательно, P = (2ε)ⁿ. Важным здесь является не примерная целочисленность результата, а его n-кратная повторяемость.

2. Сформулируем и решим задачу о случайном происхождении соответствия некоторой последовательности действительных чисел – идеальной геометрической (арифметической) прогрессии. Попробуем найти в максимально общем случае вероятность такого события. Эта задача сводится к частной задаче на линейную регрессию.

Что значит к частной? В общей постановке задачи на линейную регрессию имеются две непрерывные переменные x = (x₁, x₂, …, x_k), y = (y₁, y₂, …, y_k) и методом наименьших квадратов ищется прямая линия y(x) = kx +b, отстоящая на наименьшее расстояние от точек (x₁, y₁), …, (x_k, y_k). При этом никаких ограничений на значения переменных (x_i, y_i) не накладывается (рис. 2), т. е. они могут принимать любые действительные значения, причем каждому значению x_i может соответствовать даже не одно, а несколько значений y_i (и наоборот).

Рис.2. Диаграмма рассеяния двух, тесно связанных переменных с положительным коэффициентом корреляции, принимающих любые действительные значения.

Но  при решении задачи на линейную регрессию случайной последовательности близкой к арифметической (геометрической, в логарифмическом масштабе) прогрессии, мы имеем дело с функцией целочисленного аргумента. При этом аргумент – это просто номер члена последовательности (n = 0, 1, 2, …, k) и ему соответствует единственное значение случайной величины – члена исследуемой последовательности y = (y₀, y₁,  …, y_k).

Рис 3. Стохастическая (статистическая) зависимость между значениями, принимаемыми членами некоторой случайной последовательности, и их номерами.

Здесь зависимость y от n статистическая: каждому значению n соответствует некоторое условное распределение переменной Y (n —> Y_{N = n}), зависимость же n от y напротив – функциональная: каждому значению y соответствует единственное, однозначно определенное значение n (y —> n).

При решении практических задач по поиску подходящей к данной последовательности прогрессии и вероятности ее случайного возникновения важно ответить на вопрос: какова причина отклонений членов исследуемой последовательности от исходной, предположительно идеальной прогрессии?^[277]

И тут возможны следующие варианты:

1. Исходная последовательность является идеальной прогрессией, отклонения обусловлены ошибками измерения значений ее членов.

2. Ошибки измерения невелики и ими можно пренебречь. Расхождения обусловлены случайными отклонениями измеряемых величин от идеальной прогрессии.

3. И то, и другое: ошибки измерения суммируются со случайными отклонениями.

4. Исходная последовательность ни в в функциональном, ни в стохастическом смысле не образует прогрессию. Сходство ее с прогрессией носит чисто случайный характер.

К первому варианту следует, по видимому, отнести прогрессию эволюции; причину такого выбора мы  обоснуем далее. Ко второму – прогрессию Тициуса-Боде (что очевидно), к четвертому – так называемую вертикаль планетарных революций А.Д. Панова.

Будем исследовать последовательность (x₀, x₁, x₂, .., x_k) на близость к геометрической прогрессии  (b, bq, bq², .., bq^k). По методу наименьших квадратов найдем первый член прогрессии b и ее знаменатель q. Уравнение парной линейной регрессии в приведенном логарифмическом масштабе имеет вид: y(n) = log_q(x_n/b)  = n + e_n (n = 0, 1, 2, …, k). Где n – факторная переменная, y – результативная (зависимая) переменная, e_n – случайная компонента (остаток, отклонение); считаем, что |e_n| < 0.5.

На координатной плоскости y(n) = n – это биссектриса первого координатного угла. Для оценки качества модели можно вычислить коэффициент корреляции. На рис. 4 показано поле корреляции, состоящее из пяти точек.

Особенность данной задачи состоит в том, что ищется линейная регрессия целых чисел на множество в первом приближении также целых чисел. Если абсолютная величина всех остатков^[278] не превышают 0.5 и они распределены на единичном интервале равномерно, можно вычислить вероятность случайной близости логарифмической последовательности к арифметической прогрессии.

Рис 4.  Линейная регрессия целых чисел на множество в первом приближении также целых чисел; абсолютная величина остатков не превышает 0.5.

Т. к. величины всех остатков не превышают 0.5, то если округлить все члены y(n) до целых, получится последовательный ряд целых чисел без возвратов и совпадений. Как  определить вероятность его случайного происхождения?^[283]

Чтобы решить эту задачу, нужно выделить некоторое подмножество,  входящее в состав множества всех возможных исходов, в которое  попадают все точки поля корреляции. Отношение меры этого подмножества к мере множества всех возможных исходов и будет представлять искомую вероятность.

И здесь существует как минимум два способа такого выделения: по максимальному остатку и по сумме модулей всех остатков. В первом случае  P_max = (2|e_max|)ⁿ. Во втором – нужно сложить абсолютные величины всех остатков и найти по центральной предельной теореме Ляпунова (n > 5) вероятность того, что полученный результат P_sum будет меньше или равен этой суммы. Если остатки в большей своей части мало отличаются друг от друга P_max <  P_sum, если же все они малы, за исключением нескольких (не попадающих в выбросы), то P_max >  P_sum.

Гипербола Фёрстера

 Начнем, собственно, с результатов исследования Фёрстера и его коллег: N = C(t₀ – t)^-n; C = 179 ± 14 млрд; t₀ = 2027 ± 5; n = 0,99 ± 0,009. Показатель степенной функции при обработке большого количества данных оказался равным целому числу с точностью до одной сотой.

Можно ли это объяснить простой случайностью? Поскольку n принадлежит интервалу [0.981, 0.999]^[284],  ε = 0.019 и P = 2ε = 0.038 ≈ 4 %. Т. е., если считать, что при обработке демографических данных про методу  наименьших квадратов показатель n мог оказаться равным любому действительному, необязательно целому числу, то вероятность этого события можно оценить как один шанс из двадцати пяти.

Шанс невелик, но не так уж и мал. Такой результат можно было бы посчитать делом случае и принять некоторое нецелочисленное значение n как соответствующее реальности, если бы не одно «маленькое» обстоятельство, а именно: бессмысленная в этом случае размерность постоянной Фёрстера. Эта постоянная имеет большое значение для описания  эволюции человека и развития социума и она должна иметь размерность времени. Следовательно, показатель степенной функции в законе Фёрстера должен быть равен единице – в точности.

 Прогрессия эволюции

Является ли прогрессия эволюции чисто умозрительной конструкцией, могли ли даты начала эпох универсальной эволюции расположиться на оси времени по закону геометрической прогрессии всего лишь по воле случая?  Была ли эта эволюция с момента Большого взрыва до наших дней случайным не ускоряющимся, не замедляющимся и не направленном ни к какой цели процессом?

Выпишем научные данные по хронологии появления новых лидеров универсальной эволюции в млн лет: 0, 1.70, 5.00, 12.0, 25.0, 56, 114, 230, 460, 840, 1850, 3500, 7000, 13800. Коэффициент корреляции между датой начала очередной эпохи универсальной эволюции и ее номером T_n <—> n равен 0.72, что говорит о том, что связь между переменными высока. Но насколько точно отвечают эти даты закону геометрической прогрессии? Чтобы ответить на этот вопрос приведем все времена к логарифмическому масштабу.

Первый член этой прогрессии и ее знаменатель были найдены нами ранее по методу наименьших квадратов. Еще раз определим их значения другим способом, решив задачу  минимизации суммы времен отклонения появления новых лидеров эволюции от их (в логарифмическом масштабе) целочисленных значений.

Рис. 1. Зависимость средних отклонений (от целочисленных значений)  времен появления новых лидеров эволюции S_j,k от знаменателя прогрессии Z и положения на оси времени сингулярной точки эволюции Tsingularity. На карте линий уровня отмечен абсолютный минимум S_49,55 = 0.042.

На рис. 1 представлена  карта линий уровня функции S_j,k. Абсолютный минимум этой функции достигается при значении знаменателя прогрессии Z = 2 (с точностью до одной сотой) и временем, соответствующем сингулярной точке эволюции Tsingularity = 1.69 млн лет^[285](с точностью до пяти процентов)^[282].

 Найдя первый член прогрессии и ее знаменатель, переместим начало отсчета от настоящего времени в сингулярную точку эволюции, отстоящую от настоящего на 1.69 млн лет и находящуюся в будущем. Затем поделим эти четырнадцать времен на время эволюции человека 1.69 млн лет (т. е. будем измерять все времена в единицах времени эволюции человека). И, наконец, прологарифмируем эти относительные времена по основанию два. Все вычисления выполним с точностью до одного знака после запятой.

Рис.2. Научные данные по хронологии появления новых лидеров универсальной эволюции, обработанные в системе Mathcad.

Сведем все данные в таблицу:

Таблица 1. Научные данные по временам появления новых лидеров эволюции при отсчете от настоящего времени, от сингулярной точки эволюции, в масштабе времени эволюции человека и в логарифмическом масштабе (с точностью до одного знака после запятой).

На логарифмической шкале  времени геометрическая прогрессия превращается в арифметическую. Что прежде всего бросается в глаза? Во-первых, полученная последовательность практически не отличается от прогрессии целых чисел от нуля до тринадцати. Ни один член не пропущен, среднее отклонение 0.05, максимальное – 0.1. Если измерять время в логарифмическом масштабе – шаг эволюции становится постоянным.

Во-вторых относительные отклонения дат появления авангардных систем эволюции от идеального ряда целых чисел малы и не возрастают  по мере продвижения эволюции от Большого взрыва к настоящему времени. Т. е. все остатки малы (не превосходят по модулю 0.1) и имеют в логарифмическом масштабе одну и ту же вариабельность (постоянную дисперсию).

Рис.3. Поле и линия  регрессии дат появления новых лидеров универсальной эволюции в логарифмическом масштабе; абсолютная величина остатка не превышает 0.1.

На рис. 3 представлена зависимость между временем появления новых лидеров эволюции (в единицах времени эволюции человека и в логарифмическом масштабе), отсчитываемым от сингулярной точки эволюции, и номером эволюционного периода. По оси логарифмического времени Tsl_i это последовательность близкая к ряду целых чисел, а по номеру революции N_i – это в точности последовательный ряд целых чисел.

Т. к. на графике, изображающем линию регрессии, рассеяние точек мало и носит случайный характер, можно констатировать, что разметка времени на циклы была абсолютной, сделанной до первого шага, а сами эти отклонения обусловлены не возрастающей от шага к шагу случайностью времени появления очередного лидера^[279], а неточностью оценки дат определяющих событий.

И это очень странный результат, т. к., если времена появления новых лидеров для биологической части этой прогрессии определялись, как того требует дарвиновская теория эволюции, целиком по воле случая, то никакими преобразованиями последовательность таких времен нельзя, очевидно, привести к ряду последовательных целых чисел.

Здесь также следует отметить то, что случайной, по Колмогорову, следует считать такую числовую последовательность, для полного описания которой требуется алгоритм, длина которого соизмерима с длиной самой последовательности (и последовательность, и алгоритм нужно представить в двоичной системе исчисления). Если говорить о конечных последовательностях действительных чисел, то наиболее неслучайными среди них будут последовательности целых чисел или с помощью простого алгоритма приводимые к таким последовательностям. Это так, по той простой причине, что дробная часть у всех членов этих последовательностей  отсутствует и потому не требует никакого описания.

А среди последовательностей целых чисел менее случайными и, соответственно, более закономерными будут те, что составлены по более простому алгоритму, на запись которого требуется меньшее количество бит информации. Но что может быть проще последовательного ряда целых чисел: арифметической прогрессии с первым членом нуль и с разностью  единица^[280]?

Именно такой и может в первом приближении считаться прогрессия эволюции. Она  неслучайна потому, что каждый последующий ее член от 1 до 13 равен предыдущему, сложенному с единицей с точностью до целых (с небольшой поправкой 0.1 для некоторых ее членов – с точностью до десятых), что можно описать очень короткой программой.

Итак, ясно, что существование прогрессии эволюции нельзя объяснить простой случайностью, слишком много в ней членов и слишком малы отклонения их значений от целочисленных, хотя критики найдут, конечно, этому какое-нибудь объяснение^[281]. Но как оценить вероятность такого чуда (обозначим ее как P₁₃)?

Начнем с Большого взрыва. Не считая дату начала этого мира в наших расчетах величиной случайной, будем отсчитывать от нее последовательность времен появления новых лидеров эволюции, начиная c химической эволюции до настоящего времени. Предположим, что эта  последовательность представляет собой ряд следующих друг за другом случайных событий, в котором дата появления каждого следующего зависит от даты появления предыдущего. Всего таких случайных времен будет тринадцать. (Нумерация идет в обратном порядке: 12 – старт химической эволюции, … 1 – начало эволюции человека, 0 – старт эволюции вида, следующего за человеком.)

Искомая вероятность появления последовательности 0 – 13 равна произведению условных вероятностей: P₁₃ = P(12/13)P(11/12)…P(0/1). Здесь P(n/n + 1 ) – вероятность появления нового лидера эволюции в заданный прогрессией эволюции интервал времени, например, в интервале 7 ± 0.1 логарифмического времени при условии, что предыдущий лидер появился  в интервале 8 ± 0.1, т. е. P₁₃ = P(12 ± 0.1/13)P(11 ± 0.1/12 ± 0.1)…P(0 ± 0.1/1 ± 0.1).

Для того, чтобы определить P₁₃ попытаемся, прежде всего, выяснить по какому закону должны быть распределены отклонения членов последовательности 0 – 12 (считаем ее абсолютно случайной) от ближайшего целого числа. Для этого возьмем n произвольных возрастающих числовых последовательностей, состоящих из тринадцати случайных действительных чисел, прологарифмируем их по какому-то произвольному основанию и вычислим для каждого полученного логарифма его отклонение от ближайшего целого числа.

Рассмотрим генеральную совокупность, содержащую 13·n этих отклонений, и проанализируем при некотором заданном уровне значимости по критерию Пирсона на соответствие ее членов равномерному распределению на интервале [0, 0.5]. При достаточно большом объеме выборки, и это подтверждает вычислительный эксперимент, гипотеза равномерного распределения будет принята при любом предустановленном уровне значимости.

Кроме того, эту гипотезу подтверждает следствие из известной теоремы Вейля, согласно которому мантисса двоичного логарифма случайного числа, не являющегося степенью двойки, как величина иррациональная, распределена на интервале (0, 1) равномерно. Равномерность искомого распределения также иллюстрирует график на рис. 4 зависимости средних отклонений времен появления авангардных систем эволюции от основания логарифма z. На графике виден ярко выраженный минимум при основании два, при том, что сами средние колеблются в районе 0.25 – средней средних их величины.

Рис.4. Зависимость средних отклонений логарифмических времен появления новых лидеров эволюции S(z) от целочисленных значений.

Последовательность появления новых лидеров универсальной эволюции: 0, 1.70, 5.00, 12.0, 25.0, 56, 114, 230, 460, 840, 1850, 3500, 7000, 13800 хорошо аппроксимируется прогрессией только при отсчете времен от точки на оси времени, находящейся в будущем и отстоящей от настоящего на 1.69 млн лет. Если же отсчитывать эти времена от настоящего в прошлое, закон прогрессии будет выполняться только для достаточно удаленных событий.

Это говорит о неизбежном финале универсальной эволюции, который произойдет даже ранее сингулярной точки 1.69 млн лет. И, кроме того, лишний раз свидетельствует о неадекватности так называемой «концепции Панова», согласно которой «биосферная сингулярность с четырехмиллиардолетней историей накопления противоречий» состоится в XXI веке.

Результат логарифмирования прогрессии эволюции сильно зависит от основания логарифма. Даже при небольшом отклонении от двойки в большую или меньшую сторону (всего на 0.05) последовательность быстро отходит от практически идеального ряда целых чисел, а распределение мантиссы стремится к равномерному. То же самое происходит и при небольшом сдвиге точки сингулярности, например, при ее перемещении от 1.69 млн лет в будущем – к настоящему моменту времени (таб. 2).

Таблица 2. Времена появления новых лидеров эволюции в логарифмическом масштабе по основаниям 1.95, 2.05, 2.00 и при их отсчете не от сингулярной точки эволюции, а от настоящего времени. В таблице выделены даты, значительно отходящие от закона прогрессии.

Вернемся теперь к искомой вероятности P₁₃ = P(12 ± 0.1/13)P(11 ± 0.1/12 ± 0.1)…P(0 ± 0.1/1 ± 0.1). Как определить вероятности в правой части этого уравнения? Рассмотрим это на примере эукариот. Т. к. в соответствии с современными представлениями эволюция (в том числе и универсальная) представляла собой совершенно случайный процесс, то каждый следующий ее лидер мог появиться в принципе в любой момент времени, начиная с момента появления предыдущего^[286].

Поскольку первые прокариоты возникли в первобытном океане Земле 3.5 млрд лет (11 единиц логарифмического времени) тому назад, первые эукариоты, клетки с ядром, могли появиться через 100 млн лет, 1 млрд или даже 3.5 млрд лет спустя.

Считая эволюцию случайным процессом и зная функцию распределения даты возникновения эукариот, мы могли бы рассчитать вероятность их появления в тот или иной промежуток времени, заключенный в интервале от 11 до 0 единиц логарифмического времени. Вероятность попадания этого события на отметку в десять единиц в интервале 10 ± 0.5  при условии 11 ± 0.1 (что соответствует некоторому диапазону в реальном времени, прилегающему к дате 1.85 млрд лет) обозначим P(10 ± 0.5/11 ± 0.1).

Она нам неизвестна, как и все другие P(n ± 0.5/n+1 ± 0.1), n = 0, 1, … 12, поскольку неизвестны функции распределения F(n/n+1 ± 0.1). Но для оценки P₁₃ по максимуму эта вероятность и не потребуется. Действительно, P(10 ± 0.1/11 ± 0.1) = P(10 ± 0.5/11 ± 0.1)P(10 ± 0.1/10 ± 0.5) = P(10 ± 0.5/11 ± 0.1)·0.2 < 0.2^[287]; здесь P(10 ± 0.1/10 ± 0.5) – вероятность возникновения эукариот на интервале 10 ± 0.1, при условии, что это событие произойдет в промежутке 10 ± 0.5 логарифмического времени. P(10 ± 0.1/10 ± 0.5) = 0.2, т. к. мантисса логарифма на интервале 10 ± 0.5, как мы отмечали ранее, распределена равномерно.

Поскольку реальное физическое время однородно, последовательность времен появления каждого следующего лидера эволюции после появления предыдущего (при неизменных или, по крайней мере, благоприятных условиях^[288]) можно считать рядом следующих друг за другом независимых событий.

 Тогда P(n/n + 1) = P(n ± 0.5/n+1 ± 0.1)P(n ± 0.1/n ± 0.5) = P(n ± 0.5/n+1 ± 0.1)·0.2 < 0.2, n = 0, 1, … 12. И для вероятности случайного возникновения прогрессии 0 – 13 имеем:   P₁₃ < (0.2)¹³ ≈ 8.2·10^-10 ~ 10^-9, т. е. она меньше одной миллиардной. (Вероятность рассчитываем по максимальному отклонению, а не по сумме отклонений, т. к. все остатки примерно одного порядка.)

На самом деле P₁₃  гораздо меньше 10^-9, потому что при ее подсчете не учитывались вероятности P(n ± 0.5/n+1 ± 0.1), кроме того знаменатель прогрессии эволюции, который мог бы быть равен любому действительному числу, оказывается равным двум (2 ± 0.01), т. е. простейшему из всех возможных целочисленных знаменателей, что еще раз снижает вероятность чуда 0 – 13.

Необходимо также учесть, что Р₁₃ вычислена исходя из условия невыхода всех отклонений от целочисленных значений не более чем на 0.1, тогда как в действительности таких событий всего только пять, остальные же восемь имеют отклонения меньшие или даже значительно меньшие этого значения (среднее отклонение равно 0.05). Что дополнительно уменьшает величину данной оценки.