Анатолий Васильевич Молчанов
Население Земли как растущая иерархическая сеть
3. В моделях третьего класса нет, по сути, ничего кроме математических уравнений, т. е. это голая математика (где нет решения проблемы устойчивости роста), единственное назначение которой дать полное согласие с «экспериментальными данными», т. е. с гиперболой Фёрстера.
К первому классу относится теория Капицы. Автор предлагает модель коллективного взаимодействия; разрабатывается, а затем отвергается целый ряд чисто умозрительных способов ее реализации.
Сначала рассматривается «модель взаимодействия городов»: населенных пунктов с численностью K = 67 тыс. человек, затем модель распространения информации по схеме цепной реакции, и, наконец, в качестве причины, способной объяснить парадоксальную системность человечества, предлагается нелокальное (!) взаимодействие.
Автор честно отмечает нерешенность проблемы устойчивости роста в рамках своей модели. (В последней своей работе [21] С.П. Капица приходит к выводу, что причину аномального гиперболического роста искать вообще не нужно: вполне достаточно его «феноменологии»…)
Модель Коротаева служит хорошим примером гипотезы, в которой предлагается конкретный механизм роста, но не делается никаких серьезных попыток понять, как такой механизм мог работать в пространстве и во времени на территории Мир-системы.
И, наконец, последний член этого ряда – модели полностью оторванные от реальности и представляющие собой, по сути, какие-то бессмысленные математические игры. Примером такого «творчества» может служить работа С.В. Циреля[153], в которой гиперболический рост населения Земли представляется переходным между нулевым и экспоненциальным.
* * *
В многопричинной модели причины роста меняются со временем, они различны для разных стран, народов и регионов, численность населения которых в сумме составляет численность человечества. При этом считается, что рост населения мира процесс хотя и случайный, но направленный к определенной цели и на временах бо́льших, чем некоторое характерное время является гиперболическим.
Такое свойство растущей системы «все человечество в целом» достигать в реперных точках своего роста предустановленных значений численности и следовать во все времена одной и той же гиперболе демографического роста называется эквифинальностью. Именно оно обеспечивает выполнение в среднем закона квадратичного роста, который причинным законом в многопричинной модели уже не является, а представляет собой сопутствующую, непричинную (не ПОС) связь между численностью и скоростью ее роста.
Многопричинная модель равносильна модели третьего типа с постдетерминацией и поверить в такой механизм гиперболического роста, противоречащий всем существующим представлениям о росте численности популяции, – значит поверить в невероятное.
Причинные и непричинные законы
Для дальнейшего нам понадобится классификация законов по способу их детерминации. Законы по типу детерминации подразделяются на причинные и непричинные. Существуют два типа причинных (каузальных) законов: с преддетерминацией, когда время детерминации некоторого события предшествует времени его наступления, и с постдетерминацией, когда момент детерминации расположен позднее того момента времени, в который происходит это событие.
Во многих контекстах причинный закон отождествляется с законом, основанном на преддетерминации. Вместе с тем понятие закона с постдетерминацией, которая может быть также названа телеологической или целевой детерминацией, необходимо при описании целого ряда биологических, экономических, социальных, кибернетических объектов и систем.
Как причинные, так и непричинные законы можно разделить на функциональные законы и законы корреляции. Функциональный закон вне зависимости от его каузальной интерпретации определим здесь как такой закон, который описывает связь, при которой каждому значению одной переменной, входящей в уравнение закона, соответствует одно или несколько строго определенных значений другой.
Это определение отличается от часто встречающегося определения, отождествляющего по способу детерминации функциональную связь с сопутствующей. Дело в том, что важную для данного изложения связь между скоростью роста и численностью в уравнении dN/dt = N2/C всегда можно назвать по форме функциональной, а по способу детерминации – причинной или непричинной (сопутствующей).
Корреляционный закон – это такой закон, при котором с изменением переменной X меняется и переменная Y, но каждому значению X могут соответствовать разные, заранее непредсказуемые значения Y, и наоборот. Корреляционный закон описывает на языке теории вероятностей коррелятивную связь между явлениями или процессами, причем в отличие от функционального закона, связь эта остается целиком или частично невыясненной.
Причинный закон описывает причинно-следственную (каузальную) связь. Непричинный закон выражает непричинную коррелятивную или непричинную функциональную связь. Если наступление события А увеличивает вероятность наступления события В, то между ними существует причинно-следственная (причинная, каузальная) связь.
Определение причинного закона дает Бертран Рассел в своей книге «Человеческое познание, его сферы и границы»:
«Причинный закон, как я буду употреблять этот термин, может быть определен как главный принцип, в силу которого – если имеются достаточные данные об определенной области пространства-времени – можно сделать какой-то вывод об определенной другой области пространства-времени» [44].
Сопутствующая связь – это вид коррелятивной непричинной или функциональной непричинной связи, при которой изменение одного из связанных объектов сопутствует во времени изменению другого. Именно сопутствует, сопровождается, а не «причиняется». Сопутствующая связь – это связь сосуществования и одновременности. Это связь синхронных, в первом приближении не взаимодействующих процессов.
Объекты, находящиеся между собой в таком взаимодействии, связаны причинно (каузально) лишь в том смысле, что являются производными одного и того же основания. Т. е. существует общее для них явление-причина.
* * *
Один из способов находить причинные связи – изучение функциональных зависимостей. Так, для понимания причин, вследствие которых изменяется сопротивление проводника, оказалось достаточным найти функциональную зависимость между проводимостью и температурой. В непричинной связи объектов отсутствуют как таковые главные признаки причинно-следственной связи: производительность (объекты не производят друг друга), асимметричность во времени (они сосуществуют равноправно, симметрично во времени), необратимость.
В случае сопутствующей связи часто имеет место обратимость, т. е. возможность перестановки местами независимых переменных. Функциональный (не каузальный) подход особенно важен, когда предметом изучения являются процессы, внутренний причинный механизм которых пока неизвестен и выступает как своего рода черный ящик.
Примеры:
A. Свободно падающее тело: связь между мгновенным значением скорости и пройденным путем. Связь причинная, асимметричная S → V.
B. Связь между шириной зоны разброса дроби и расстоянием до цели: связь функциональная, сопутствующая; позволяет определять это расстояние по результатам исследования мишени.
C. Связь между энергопотреблением и численностью. Мировое энергопотребление в эпоху гиперболического роста пропорционально квадрату численности населения мира, но рост численности не есть причина роста энергопотребления. А рост энергопотребления не есть причина роста численности. Процессы эти сопутствующие и связь между ними сопутствующая (в первом приближении, т. к. эти явления – высшей степени сложности), а не причинно-следственная. Такая же связь, как мы покажем далее, существует между численностью населения мира и скоростью ее роста (годовым естественным приростом).
* * *
Когда мы хотим объяснить какое-то явление, нам приходится ставить вопрос о его причине и искать причинно-следственную, каузальную связь. Проблема анализа причинности – одна из вечных проблем философии, которой философы занимаются на протяжении тысячелетий. Ею интересовался еще Аристотель, а статьи, посвященные причинности, до сих пор можно встретить на страницах современных философских журналов.
Хотя понятия причина и следствие обычно относятся к событиям, происходящим в пространственно-временном континууме, понятие событие в каузальном анализе можно заменить на понятие процесс, свойство, переменную. В точных науках исследуется связь между переменными, входящими в математическую зависимость, выражающую некоторый закон. Рассмотрим две переменные, описывающие некоторые свойства системы как функции времени: x(t) и y(t). Про связь между этими переменными y(x) можно сказать следующее:
1. Во-первых, она может вообще отсутствовать – тогда справедлива нулевая гипотеза.
2. Во-вторых, она может быть коррелятивной, когда наличие взаимозависимости между переменными не вызывает сомнений, но природа ее остается неизвестной.
3. В-третьих, связь эта может быть причинно-следственной, когда изменение переменной x(t) есть причина, по которой изменяется переменная y(t) (или наоборот).
4. В-четвертых, связь эта может быть по форме функциональной или коррелятивной, а по способу детерминации – сопутствующей, если существует количественный динамический (статистический) причинный закон с пред или постдетерминацией для каждой из переменных x(t) и y(t), в результате непрерывного действия которого и возникает зависимость между переменными y и x: y(x), которая не является в этом случае причинным законом.
В физике чаще всего исследуется причинно-следственная связь с преддетерминацией между мгновенными значениями переменных. Примером такой связи может служить второй закон Ньютона: a(t) = F(t)/m. Значение ускорения в каждый момент времени равно силе, действующей на тело в этот же момент времени, деленной на его массу. Сила здесь – причина, ускорение – следствие, запаздывания – нет[154].
Можно расширить понятие причинного закона, считая, что «причинная переменная» может быть не только дифференциальным, но и интегральным, «накопленным» во времени показателем, характеризующим динамическую систему.
Так, закон, связывающий мгновенную скорость тела с работой сил на него воздействующих, можно считать причинным законом. В простейшем случае, когда рассматривается движение в однородном силовом поле, можно говорить о причинной связи между пройденным путем и приобретенной телом скоростью. Здесь причинная переменная «накапливается» во времени.
Отметим важный частный случай каузального анализа связи двух динамических переменных x(t) и y(t), когда y(t) = Δx(t) = x(t) – x(t – Δt). Здесь в качестве второй переменной выступает приращение первой за небольшой промежуток времени Δt.
Если переменная x(t) на интервале Δt вызывает свое собственное приращение Δx(t) = f(x)Δt, т. е. является причиной собственного роста (уменьшения), то причинно-следственная связь x(t) <—> Δx(t) называется обратной связью.
Обратная связь может быть определена не только для функционального причинного закона, но и для причинного закона корреляции; она может быть как положительной (ПОС), так и отрицательной (ООС). Важно понимать, что уравнение Δx(t) = f(x)Δt может и не выражать причинный закон, а связь между x(t) и Δx(t) может и не являться ПОС или ООС.
* * *
Приведем примеры. Примером положительной обратной связи может служить связь между численностью популяции и ее естественным приростом. Рассмотрим закон экспоненциального роста популяции: dN/dt = αN. В этом причинном законе причинной, накопленной переменной является численность популяции N, а переменной-следствием – ее прирост dN за некоторый небольшой, фиксированный промежуток времени dt.
Т. е. здесь мы имеем дело с интегральной, «накопленной в пространстве и во времени» причинной переменной N и дифференциальной, мгновенной характеристикой роста: ежегодным естественным приростом dN. Истинная причина экспоненциального роста популяции заключена внутри черного ящика процесса размножения ее единичной репродуцирующей себя ячейки. Поскольку уравнение, описывающее рост, является в этом случае линейным, приросты dNi от разных частей складываются.
Так, например, одна половина популяции может находиться на Земле, а вторая – в другой галактике, и тем не менее закон dN/dt = αN, описывающий суммарный рост, будет по нашему определению причинным, хотя причинной связи между этими половинками не может быть в принципе.
Но если причинный закон роста будет нелинейным, например, квадратичным dN/dt = αN2, то рост любых двух частей такой популяции должен быть связан причинно, т. к. ежегодный прирост численности на единичную репродуктивную ячейку популяции dN/N = αNdt будет в таком случае зависеть от общей численности N. В этом заключается качественное отличие причинного нелинейного от причинного линейного закона роста популяции.
* * *
Как линейный, так и нелинейный закон роста популяции могут и не быть причинными законами, т. е. могут описывать непричинную связь между численностью и скоростью ее роста. Пример такого закона мы рассмотрим ниже. И, наконец, может случиться так, что рост численности популяции будет, например, гиперболическим, но никакого закона, описывающего такой рост в форме автономного уравнения, т. е. уравнения, правая часть которого зависит только от N, – не существует.
Рост численности будет зависеть в этом случае не только от внутренних причин, но и от внешних условий, и в правой части уравнения, описывающего такой рост, будет присутствовать в явном виде время: dN/dt = F(N,t). Примером такого роста может служить, например, рост суммарной растительной клеточной массы в весенний период в Северном полушарии. Даже если бы этот рост оказался гиперболическим, считать, что он обусловлен положительной обратной связью второго порядка между растительной массой и скоростью ее роста, очевидно, нельзя.
Переменная-причина и переменная-следствие могут меняться местами даже при рассмотрении одного и того же функционального закона. Так, при сжатии внешней силой идеального газа в замкнутом сосуде, связь между приростом давления и уменьшением объема газа за малый промежуток времени будет причинной.
Причем прирост давления – причина, а уменьшения объема – следствие. При свободном расширении сжатого газа причинные переменные меняются местами: прирост объема за малый промежуток времени приводит к убыли давления.
В приведенных здесь примерах причинных законов с преддетерминацией, связывающих две переменные, причинная переменная может быть как дифференциальной, так и интегральной. Тогда как переменная-следствие всегда является дифференциальной. Такая асимметрия связана с тем, что событие-следствие, как это обычно принято считать, должно быть локализовано в пространстве и во времени и целиком обусловлено событием-причиной.
Это событие-следствие может быть малым приращением пути, пройденного телом, или приростом численности популяции за небольшой промежуток времени. Т. е. пройденный телом путь может быть причиной значения его скорости в данный момент времени (движение частицы в однородном силовом поле) и текущая численность популяции может быть причиной ее текущего естественного прироста, а не наоборот.
* * *
Примером непричинной (не ПОС и не ООС) связи между переменной и скоростью ее роста может служить связь между средним ежедневным выпуском продукции на некотором предприятии и общим ее количеством, выпущенном с начала года.
Пусть в январе запланировано выпустить некоторое количество продукции, а за каждый последующий месяц в течение года ее выход по сравнению с предыдущим должен быть увеличен на десять процентов. При этом количество ежедневно выпускаемых товаров может быть любым, т. е. никак планом не регламентируется.
Но в конце последнего дня каждого месяца план должен быть выполнен, т. е. должно быть произведено запланированное количество продукции (не больше и не меньше). Связь между усредненным за некоторый промежуток времени ежедневным и общим количеством продукции, выпущенным с начала года, будет в этом случае функциональной, непричинной. Функциональной в том смысле, что эти средние связаны вполне определенной аналитической зависимостью, а непричинной – в том смысле, что не текущее количество выпущенных товаров причинно определяет прирост и не текущий прирост причинно задает это количество, а делает это управляющая система, реализующая закон, по которому растет как ежедневный прирост продукции (как управляемый случайный процесс), так и общий ее выпуск (как управляемый, эквифинальный, нестационарный случайный процесс), полностью определяемый его суммарной величиной.
Т. е. вероятностный закон, связывающий мгновенное общее количество выпущенной с начала года продукции со скоростью ее производства в каждый момент времени, описывает непричинную, функциональную, а не причинно-следственную связь. Нестационарный управляемый случайный процесс N(t) (количество товаров, выпущенных к моменту времени t) может считаться эквифинальным в том смысле, что в конце каждого месяца N(t) будет отличаться от планового значения на некоторую относительно небольшую предзаданную величину.
Т. к. количество выпущенных товаров возрастает ежемесячно в одно и то же число раз (в 1,1 раза), то вероятностная, непричинная зависимость между скоростью производства и полным количеством выпущенной с начала года продукции будет примерно линейной. А зависимость количества произведенных товаров от времени в течение года в первом приближении – экспоненциальной.
Если бы такой прирост планировался не на постоянных, а на сокращающихся по закону прогрессии к точке сингулярности отрезках времени, то рост выпущенной продукции был бы гиперболическим. Причем в простейшем случае такого роста зависимость между скоростью производства и общим выпуском товаров была бы уже не линейной, а параболической. Т. е. описывалась бы уравнением квадратичного роста dN/dt = αN2, которое не определяет в данном случае автокаталитический процесс и не является причинным законом. (По такому же закону растет и численность населения Земли. И уравнение квадратичного роста, связывающее эту численность и скорость ее роста, может и не быть причинным законом.)
Здесь мы имеем дело с причинным, вероятностным, целевым (телеологическим) законом или законом с постдетерминацией, связывающим количество выпускаемой ежедневно в течение каждого месяца продукции (случайную переменную-следствие) с плановым общим ее выходом в конце каждого такого месяца – причинной целевой переменной, значение которой предопределено в будущем.
* * *
При анализе причинного закона с преддетерминацией недостаточно указать формулу, аналитическую зависимость, связывающую каузальные переменные. Необходимо еще описать КАК в пространстве и во времени рост переменной-причины приводит к росту (уменьшению) переменной-следствие.
Данное нами определение причинного закона для двух переменных сформулировано для конкретной задачи исследования законов роста численности популяций и, в частности, закона роста численности населения Земли. Мы не ставили перед собой задачи всесторонне исследовать этот сложный вопрос и давать наиболее общее определение.
* * *
Дадим определение закона квадратичного роста как причинного закона роста численности популяции, рассматривая dN/dt = N2/C как уравнение в конечных разностях (1А), рис. 3.
Рис. 3. Решение задачи Коши методом Эйлера.
Пусть в начальный момент времени t0 численность популяции равна N0. Разобьем промежуток t − t0 на интервалы равной длительности, причем шаг Δt можно сделать «сколь угодно» малым.
Введем сеточную функцию дискретного аргумента, вычисляемую в узлах сетки. В момент t1 = t0 + Δt найдем прирост численности ΔN0 по (1А) и определим ее новое значение N1 = N0 + ΔN0.
Продолжим итерации, опираясь на (1А) как на рекуррентное соотношение, и вычислим значение численности во всех узловых точках, решив, таким образом, простейшую задачу Коши одношаговым методом Эйлера.
Закон квадратичного роста dN/dt = N2/C можно считать причинным законом роста популяции в том, и только в том случае, если действительный рост численности этой популяции в точности соответствует этому математическому итеративному алгоритму и удовлетворяет двум следующим условиям:
1. Для описания роста численности может быть введен отрезок времени Δt, с одной стороны, достаточно малый для того, чтобы закон роста мог быть сформулирован в форме дифференциального уравнения, а, с другой стороны, достаточно большой для того, чтобы смогли заработать механизмы этого роста, которые для каждой модели свои. Для изобретательской теории Коротаева Δt – это то время, за которое изобретения «растворятся» в Мир-системе и дадут прирост ΔN. Для феноменологической теории Капицы – это время достаточно большое для того, чтобы накопленная в Ойкумене информация дала неслучайный прирост, пропорциональный квадрату числа связей.
2. Рост численности популяции на любом конечном отрезке времени может быть представлен как причинно-следственная цепь событий, в которой каждое предыдущее событие есть причина последующего, причем с описанием этих событий в пространстве и во времени: …→N→причина роста→прирост ΔN за Δt→N + ΔN→…
В этом, и только в этом случае, закон квадратичного роста dN/dt = N2/C может рассматриваться как причинный закон, описывающий автокаталитический, самоускоряющийся процесс, как положительная обратная связь второго порядка. Рост численности любых размножающихся «частиц», происходящий в соответствии с таким причинным законом квадратичного роста, может служить примером режима с обострением.
Режим с обострением – это такая стадия развития динамического процесса, которая описывается причинным законом, задающим нелинейную положительную обратную связь (НПОС), в результате непрерывного действия которой одна или несколько моделируемых величин обращается в бесконечность за конечный промежуток времени.
* * *
Закон роста населения Земли в Википедии до 2014 года описывался как режим с обострением со ссылкой на работы А.В. Коротаева, пока я не удалил это физикалистское его описание и не дал правильное определение этому закону.
На той же странице Википедии (2016 г.), где дано определение режима с обострением, в списке литературы до сих пор указаны работы, в которых описывается гиперболический рост, не являющийся режимом с обострением. Это книга А.В. Коротаева и соавторов по гиперболическому росту населения Земли: «Законы истории…» 2-е изд. М.: УРСС, 2007. И статья А.В. Маркова и А.В. Коротаева: «Динамика разнообразия фанерозойских морских животных соответствует модели гиперболического роста» Журнал общей биологии. 2007, № 1.
Кто бы вычистил Википедию от сочинений и ссылок на «труды» этой сладкой парочки, представляющей результаты своих более чем сомнительных исследований по гиперболическому росту как окончательные и бесспорные. А ведь именно таковыми должны быть статьи в Википедии: окончательными, бесповоротными, бесспорными, как формула Эйнштейна E = mc2. Эти же двое не потрудились даже провести каузальный анализ исследуемых закономерностей. Автокаталитичность роста подразумевается ими по умолчанию!
На самом деле никакой ПОС второго порядка между численностью населения мира и скоростью ее роста никогда не существовало. Гиперболический рост числа родов фанерозойских морских животных также не мог происходить по причине ПОС второго порядка, неизменной в течение сотен миллионов (!) лет.
Во всяком случае, это нужно как-то доказывать. Так что Марков и Коротаев, очевидно, поспешили «увековечить» свои имена как имена исследователей гиперболического роста, поскольку так и не поняли причин, вызывающих такой рост.
По тем же соображениям (отсутствие ПОС) неправильно говорить про обострение по скорости в релятивистском законе, описывающем неограниченное возрастание массы тела при росте его скорости. Нет также никакого обострения по времени в законе гиперболического роста населения Земли N = C/(t0– t).
Во всех этих случаях мы имеем дело с функциональной, непричинной связью между переменной и ее приращением, а не с причинным законом, описывающим самоускоряющийся (автокаталитический) процесс.
