Анатолий Васильевич Молчанов
Население Земли как растущая иерархическая сеть
Направленность роста сети на стадию своего гармонического достижения в конце каждого глобального исторического цикла, когда ее размер удваивается по сравнение с его значением на конец предыдущего цикла, полностью соответствует представлению о сокращающихся циклах исторического развития, которые рассматривали И.М. Дьяконов и С.П. Капица.
При этом приоритет по глобальным историческим циклам Мир-системы, сжимающимся к точке сингулярности эмпирической гиперболы демографического роста, имеет, по-видимому, более высокое значение по сравнению с приоритетом по экономическому (Кондратьевскому) циклу – главному циклу эволюции.
Т. е. гармонические стадии роста сети должны быть пройдены в обязательно порядке. Поэтому кривая роста стремится пересечь как точки, предопределенные программой эквифинальности по Кондратьевским циклам, так и, вероятно, с более высоким приоритетом, все девять точек гармонического достижения от момента начала неолита до момента начала демографического перехода.
В этом и состоит истинная причина устойчивости гиперболического роста в нашей модели, и она понятна без всякой математики.
* * *
Устойчивость роста – вот ахиллесова пята всех теорий первого типа, опирающихся на закон квадратичного роста (1) как на причинный закон. Может ли тогда (1) считаться причиной гиперболического роста? И могут ли такие теории претендовать на истинность? Окончательные выводы пока отложим. Но возвратимся к теории Коротаева.
Все сказанное выше по поводу устойчивости справедливо для того случая, когда скорость роста численности в точности пропорциональна квадрату численности.
Если же это условие выполняется лишь в тенденции, по мере роста Мир-системы, как полагает Коротаев, то надежда на то, что в результате такого случайного, неустойчивого процесса «нарисуется» (причем с фантастической точностью в один процент!) гипербола Фёрстера, простейшая из гиперболических кривых, – пропадает окончательно и безвозвратно.
На стр. 33 книги «Гиперболический рост в живой природе и обществе» (А.В. Марков, А.В. Коротаев, Москва, URSS, 2009 г) Коротаев пишет (выделено мной. – А.М.):
«Теперь для того, чтобы объяснить гиперболическую тенденцию роста численности населения мира, мы должны просто объяснить, почему на протяжении многих тысячелетий абсолютные темпы мирового демографического роста были в тенденции пропорциональны квадрату численности населения мира».
Убедить востоковеда Коротаева в том, что действовавший на протяжении многих тысячелетий причинный закон (1) (ПОС второго порядка), справедливый лишь в тенденции, не обладающий ни памятью, ни устойчивостью не способен обеспечить рост населения мира по гиперболе, что понятно и так, без всяких доказательств, любому мало-мальски мыслящему человеку с минимальным математическим образованием, – не представляется возможным. Спустя годы он продолжает распространять в печати и в Интернете свою топорную, ничем не подтвержденную демографическую теорию.
Миф о том, что закон квадратичного роста как причинный закон есть асимптотическая форма более сложного закона, полностью объясняющего рост
Проведем такой мысленный эксперимент. Пусть имеются два сосуда с питательной смесью; в каждом из них находятся в равном количестве и в одинаковых условиях идентичные микроорганизмы. Микроорганизмы способны двигаться и размножаться по закону Мальтуса (при неограниченных ресурсах и без конкуренции), в соответствии с которым прирост пропорционален численности. (Такой рост называется экспоненциальным.) Сосуды соединены трубкой с краном.
Что произойдет, если спустя некоторое время после того как микроорганизмы начали размножаться кран открыть и произойдет полное перемешивание? – Ничего не произойдет. Каждая часть системы размножается независимо от другой. Скорость роста в системе «два сосуда вместе» ничем не отличается от суммарной скорости роста в системе «два сосуда по отдельности» до открытия крана.
Микроорганизмы «не чувствуют» друг друга, никак не взаимодействуют, для роста им нужна только питательная среда. Все сказанное справедливо для любого экспоненциального роста, с любыми постоянными коэффициентами рождаемости и смертности. Но если повторить тот же эксперимент для организмов, размножающихся по закону квадратичного роста, то после открытия крана, спустя некоторое время, темпы роста удвоятся, т. е. естественный прирост, в расчете на одну репродуктивную ячейку популяции в системе из двух сосудов вместе, будет вдвое превышать таковой в системе из двух сосудов по отдельности.
Длительность переходного периода, когда скорость роста получает свое приращение (в данном случае на 100 %) за счет системности при неизменной в первом приближении общей численности, назовем минимально необходимым временем проявления системности.
Рис. 1. Переход от конечно-разностного алгоритма Эйлера к законам роста в дифференциальной форме для экспоненциального и гиперболического роста.
Причинно-следственный механизм экспоненциального и гиперболического роста полностью соответствует одношаговому алгоритму Эйлера в задаче Коши для уравнений (1) и (2). Следует подчеркнуть, что конечно-разностная форма закона роста (1А) при достаточно малом шаге Δt и есть та модель, которая адекватно описывает процесс роста как причинно-следственную цепь. Дифференциальное уравнение (1) с бесконечно малым шагом и приращением – всего лишь математическая идеализация, позволяющая получать простые по форме и достаточно точные решения стандартными методами.
Именно поэтому вопрос о выборе шага итераций Δt в (1А) имеет большое значение. Каким должен быть выбран этот шаг и может ли он вообще быть выбран так, чтобы конечно-разностный алгоритм роста соответствовал существующим причинно-следственным отношениям. Ясно, что шаг этот должен быть достаточно мал, чтобы оказался возможен переход к уравнению (1), частным решением которого является гипербола Фёрстера. Иначе не будет согласия теории с наблюдательными данными.
Для колонии организмов, растущих по закону экспоненты, шаг этот должен быть гораздо меньше масштаба времени (1/α), характеризующего рост. Если показатель смертности равен нулю, то это время, необходимое микроорганизму, чтобы создать свою копию. Других ограничений на Δt – нет (считаем, что объем питательной смеси неограничен), и при достаточно малом шаге можно перейти к простейшему дифференциальному уравнению с экспоненциальным решением. Насколько все просто для экспоненциального роста, где каждая часть системы растет независимо от другой, настолько сложно, когда эти части взаимодействуют.
* * *
Человечество, растущее по закону квадратичного роста, – это растущая «популяция» со смертностью, поэтому время, необходимое для репликации единичной репродуктивной ячейки такой популяции, должно быть меньше средней продолжительности жизни. Следовательно, шаг итераций также должен быть выбран меньше средней продолжительности жизни или даже времени достижения половой зрелости и способности давать потомство. Кроме того, для человечества как системы, в соответствии с теорией Капицы, можно ввести особый интервал времени τ: характерное время исторических изменений. Это время равно примерно сорока годам.
Сорок лет – это тот исторически значимый период времени – цикл эволюции – за который система «все человечество в целом» продвигается на один шаг вперед в своем поступательном, прогрессивном развитии. Примерно сорока годам равна постоянная времени Капицы. Такова же длительность цикла растущей сети в нашей модели. Средняя длительность Кондратьевского цикла в ХХ веке также примерно равна сорока годам, и, наконец, этим же сроком измеряется среднее, за весь исторический период, время жизни человека.
Сорок лет – это то минимальное время, за которое характер роста численности населения мира может качественно измениться, причем при отсутствии каких-либо катастроф. Например, рост скорости роста может смениться ее убыванием.
Примерно за 40 лет до роковой пятницы 13-го, по Фёрстеру, точки сингулярности гиперболы демографического роста, закон роста сошел с гиперболы и начался глобальный демографический переход, длительность которого равна удвоенному характерному времени. Развитые страны, суммарная численность которых составляет один миллиард человек, прошли через демографический переход в среднем на 40 лет раньше развивающихся стран.
И, наконец, именно за такое минимальное время, τ = 40 лет, максимальный абсолютный прирост численности населения Земли может быть сравним с самой численностью. Так, в ХХ веке за период 1942–1982 гг., т. е. за характерное время системы, население мира удвоилось.
* * *
Важно понимать, что постоянная времени Капицы τ, характерное время исторических изменений, – константа эмпирическая. На вопрос о том, почему у системы «растущее человечество», с которой в процессе эволюции и социального развития происходили многочисленные качественные изменения, характерное время оставалось неизменным – теория Капицы никакого ответа не дает.
Объяснение, данное С.П. Капицей, согласно которому закон роста и, соответственно, константы роста на протяжении двух миллионов лет «в первом приближении не эволюционировали», вряд ли может считаться удовлетворительным.
Поскольку в эпоху гиперболического роста с человечеством, как с растущей системой, за характерное время τ могли произойти кардинальные изменения, то шаг Δt в уравнении роста должен быть не просто меньше, а гораздо меньше сорока лет.
С другой стороны, шаг этот обязан быть больше, чем минимальное время, необходимое для системы «все человечество в целом», чтобы она проявила свою системность и стал возможен квадратичный рост скорости роста. (Если выбрать шаг меньше этого минимального времени, придется переходить к уравнению с запаздывающим аргументом.) За это минимальное время – шаг модели – должны быть реализованы все стадии развития процесса, т. е. все события одного звена причинно-следственной цепи согласно (1А).
* * *
Попробуем оценить минимально необходимое время проявления системности (разное – в разные времена) для модели Коротаева.
Согласно закону Мура со второй половине ХХ века и до наших дней вычислительная мощность компьютеров, емкость жестких дисков и т. п. каждые 18 месяцев удваивалась. Это нижняя граница, минимум миниморум для времени перехода новации в инновацию в рамках одной технологии, с учетом мгновенной скорости передачи информации и без учета времени, необходимого на прирост численности.
Но взрывной рост достижений в сфере высоких технологий в наше время, когда за два года устаревает персональный компьютер и сотовый телефон – явление уникальное, никогда ранее не наблюдавшееся, и его нельзя распространять на все времена и все новации.
По мере удаления в прошлое это минимальное время растет по следующим причинам:
1. Во-первых, растет время, необходимое для передачи информации, заключенной в изобретении на всю Мир-систему, которое при отсутствии современных средств связи, появившихся только в конце XIX, начале ХХ века, составляет как минимум годы.
2. Во-вторых, изобретения, представляющие собой чистую информацию, необходимо «материализовать», т. е. поднять потолок несущей способности Земли. Ведь лишь в этом случае они смогут стать движущей силой роста численности. На это также требуется время в среднем, видимо, тоже годы.
3. И, наконец, нужно еще подождать некоторое время пока эта материальная инновация даст результат в виде прироста численности, подождать не менее длительности пренатального периода. И это тоже может вылиться в несколько лет.
Возьмем минимальное время проявления системности равным, скажем, 10 годам. Затем выберем шаг, учитывая то, что для того, чтобы конечно-разностная схема (1А) заработала, шаг модели должен быть больше, а лучше гораздо больше, чем это минимальное время. Иначе звено причинно-следственной цепи, содержащее события, происходящие с системой в течение этого шага, будет иметь прямую причинно-следственную связь с предыдущим и последующим звеньями. Пусть шаг этот будет равен, скажем, сорока годам.
Понятно, что данный выбор достаточно произволен. Дело осложняется еще и тем, что в модели роста прирост после каждой такой итерации никак не выделяется из общей численности, а просто складывается с ней, после чего идет рекурсивное обращение к основному алгоритму. Но на изобретательскую деятельность грудные младенцы не способны, и общую численность приходится делить на две составляющие: потенциальных изобретателей и тех, кто изобретать не способен в принципе.
Младенцам же для того, чтобы стать «коротаевскими изобретателями» нужно время, чтобы подрасти, на что уходит, скажем, двадцать лет. Зато рожденные за двадцать лет до того как раз вступают в изобретательский возраст и могут участвовать в новационном процессе.
Следовательно, уравнения роста должны быть уравнениями с запаздывающим аргументом, с разделенными общей численностью и приростом. Ясно, что без упрощений здесь не обойтись. Тем более, что цель данного анализа состоит вовсе не в том, чтобы составить и решить.
Будем считать, что прирост за счет рождаемости и за счет уменьшения смертности можно описывать как единый прирост уравнением (1A); будем также считать, что прирост за шаг Δt составляют не грудные младенцы и выжившие за счет жизнесберегающих технологий старики, а полноценные «изобретатели». Т. е. возрастные, гендерные и другие различия учитывать не будем. И только после всех этих упрощений мог бы, наконец, заработать алгоритм роста в его конечно-разностной форме (1А).
Но этого-то как раз и не происходит по той причине, что минимальное время проявления системности примерно равно характерному времени исторических изменений. Шаг Δt конечно-разностного уравнения (1А), единый на всем протяжении эпохи гиперболического роста, не может быть и гораздо больше первого, и гораздо меньше второго.
Следовательно, ни конечно-разностное уравнение (1А), ни тем более дифференциальное (1) не могут выступать в качестве причинного закона роста и описывать рост численности в реальной Мир-системе. Это понятно еще и по следующим соображениям: квадратичное уравнение (1), определяющее гиперболический рост, в отличие от линейного (2), не имеет «встроенного» масштаба времени. Такие законы называются масштабно-инвариантными.
Они остаются неизменными при изменении шага Δt. Но реальный рост численности населения Земли как системы характеризуется по крайней мере двумя характерными временами: временем исторических изменений и минимальным временем проявления системности.
И причинный закон (1), который не содержит таких характерных времен как закон самоподобного роста, как асимптотика более сложного закона с преддетерминацией, может быть получен лишь в том случае, если в формулах этого более сложного, не масштабируемого закона, второго типа по нашей классификации, первое время устремить к бесконечности, а второе к нулю.
Поскольку в действительности эти времена на протяжении по крайней мере последних нескольких столетий были примерно одного порядка, то закон (1) не является асимптотической формой какого-либо более сложного закона. И т. к. в зависимости (1) эти характерные времена отсутствуют, то закон квадратичного роста не может выступать в качестве причинного, динамического закона, определяющего гиперболический рост.
Как такое может быть? – Такое возможно лишь в том случае, если закон квадратичного роста не является причинным законом, а представляет собой сопутствующую, непричинную связь между численностью и скоростью ее роста. При этом скорость роста будет пропорциональна квадрату численности лишь в среднем, а рост ее может быть даже немонотонным. При том условии, конечно, что если (1) проинтегрировать, то должна получиться кривая роста, «мало отличающаяся» от гиперболы Фёрстера.
* * *
В таком случае закона роста численности с преддетерминацией, учитывающего все особенности глобального демографического процесса и полностью его объясняющего, видимо, не существует.
Действительно, если бы такой закон существовал во всей своей сложности: с характерными временами, с учетом роста отдельных частей Ойкумены, миграции, разделения полов и спецификой прироста за счет рождаемости, с разделенным приростом, с запаздыванием инноваций и т. д., и т. п. То все равно в асимптотике, с учетом всех возможных упрощений, на выходе получался бы асимптотический причинный закон, включающий характерные времена роста. (Уравнение Капицы содержит характерное время исторических изменений τ, но не содержит усредненное время проявления системности.)
Закон (1) мог бы выступать в качестве асимптотического причинного закона, если бы асимптотическая причинная связь между численностью и скоростью ее роста не зависела бы совсем или зависела слабо от обоих характерных времен. Тогда устремление этих времен к бесконечности и к нулю, соответственно, не меняло бы форму асимптотики. В такую независимость поверить трудно, и вот почему: во-первых, скорость роста численности всегда зависела от инновационного процесса. Во всех существующих теориях роста это как-то отмечено.
Во-вторых, существуют экономические циклы и, в частности, Кондратьевский цикл. И наиболее убедительное объяснение этому циклу, данное самим Кондратьевым, также связано с инновациями. Причем длительность Кондратьевских волн как раз примерно равна характерному времени исторических изменений, а всего таких волн за два тысячелетия исторического времени насчитывается около пятидесяти.
Если Кондратьевский цикл существовал в течение всего социального периода развития человека, то скорость роста была циклической функцией, т. е. зависела от характерного времени исторических изменений. С другой стороны при неравном нулю времени проявления системности уравнение (1) должно быть заменено на уравнение с запаздывающим аргументом, имеющим совсем другие решения. Поскольку в реальности это не так, то модель второго типа, видимо, вообще не может быть построена. Миф о том, что такое возможно принадлежит С.П. Капице, а не А.В. Коротаеву, который этой проблемы вообще не касается. Впрочем, как и всех других, сколько-нибудь важных проблем.
Все эти рассуждения не претендуют, конечно, на роль какого-то доказательства и даже на полную безошибочность; это всего лишь первое приближение, шаг в направлении, развивать которое нет никакого смысла по причине его бесперспективности. Тем не менее приведенные здесь аргументы могут иметь значение при решении вопроса о статусе (1) как причинного закона.
Миф о пределе гиперболического роста
Согласно феноменологической теории Капицы гиперболический рост численности первых архантропов начался 1,6 миллиона лет назад. Но если говорить о каком-то более или менее надежном соответствии демографическим данным и данным палеодемографии, то начало эпохи гиперболического роста следует перенести на момент начала неолита, т. е. считать, что гиперболический рост населения Земли стартовал около десяти тысяч лет тому назад.
Характерное время исторических изменений (τ = 40 лет) укладывается на этом отрезке примерно 250 раз. (Согласно нашей гипотезе, от начала неолита до сингулярности Дьяконова – Капицы (2022 год) насчитывается 255 циклов Кондратьева и один цикл перехода.)
Когда закончился период гиперболического роста? Согласно исследованиям С.П. Капицы – в начале шестидесятых годов (1962 год), у А.В. Коротаева – это начало семидесятых (1973 год), по нашему же мнению, – это конец семидесятых, начало восьмидесятых (1982 год).
Такой разброс в 20 лет для момента завершения эпохи гиперболического роста и начала глобального демографического перехода не является существенным для нашего анализа. Почти все выводы, которые будут здесь сделаны, останутся неизменными и при любой другой дате из приведенного интервала.
Момент окончания гиперболического роста (возьмем для определенности 1982 год), продолжавшегося в течение по крайней мере нескольких сотен характерных времен, отмечен целым рядом удивительных совпадений:
1. На момент завершения эпохи гиперболического роста численность населения мира принимает значение примерно равное К2, где К – безразмерная постоянная в модели Капицы. (В момент начала роста численность первых гоминид была порядка К, в начале неолита численность человеческой популяции достигала значения К3/2).
2. Тогда же численность за характерное время τ = 40 лет удваивается, чего не наблюдается ни до, ни после этого момента.
3. В этот же момент времени завершается последний глобальный исторический цикл в череде сжимающихся по закону прогрессии циклов исторического развития.
4. До сингулярности эмпирической гиперболы демографического роста остается всего лишь шаг, длительностью τ.
5. Длительность эпохи взрывного гиперболического роста от начала неолита до 1982 года составляет К1/2τ.
6. Продолжительность демографического перехода 1982–2062 гг. равна 2τ.
На завершение эпохи ускоренного исторического развития, продолжавшейся от палеолита до наших дней, обратил внимание еще историк И.М. Дьяконов, он же отметил связь этого явления с концом эпохи гиперболического роста населения мира.
Рис. 1. Конец эпохи гиперболического роста.
Никакого объяснения этим странным совпадениям нет, и это тем более удивительно, если учесть, что точка сингулярности эмпирической гиперболы демографического роста определилась вовсе не в ХХ веке, а есть результат всего роста, продолжавшегося в течение многих тысяч лет.
* * *
Момент начала мирового демографического перехода С.П. Капица определяет как тот момент времени, когда прирост численности за характерное время становится сравнимым с самой численностью:
«Само системное развитие динамически самоподобно и его внутренние закономерности со временем не меняются, сохраняя автомодельность роста. Только тогда, когда прирост населения на протяжении поколения или характерного времени τ становится сравнимым с самой численностью населения мира, возникает критический переход к другому закону роста и, как следствие, – переход к стабилизированной численности населения Земли.
В этом следует видеть внутреннюю, системную природу демографического перехода. Существенно подчеркнуть, что этот фундаментальный закон роста описывает рост человечества до перехода за все время развития при неизменных его характеристиках, которые в первом приближении не эволюционировали» [1].
Не пытаясь даже комментировать данное С.П. Капицей, на наш взгляд, совершенно бессмысленное, чисто на словах, физикалистское описание конца эры гиперболического роста, отметим лишь то, что никакого ответа на вопрос почему мировой демографический переход начался именно тогда, когда он начался, т. е. во второй половине ХХ века, теория Капицы, конечно, не дает. Приведенная выдержка – это и есть объяснение.
Но поверить в такое объяснение совершенно невозможно по следующей причине: если от сингулярности гиперболы демографического роста, сингулярности Дьяконова – Капицы (2022 год), удаляться в прошлое с шагом, равным характерному времени τ = 40 лет: 1982–1942–1902–1862–1822…, то для численности населения мира получим сеточную функцию, значения которой пропорциональны членам гармонической последовательности: 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5…
Для прироста за характерное время, соответственно, получаем: 1/2, 1/6, 1/12, 1/20 от численности или в процентах относительно момента начала каждого цикла: 100 %, 50 %, 33 %, 25 %…
На интервале длительностью в четыре характерных времени 1822–1982 гг. прирост за характерное время τ = 40 лет монотонно возрастал от 25 % до 100 % и имел тот же порядок, что и численность.
Следовательно, ни о каком его критическом значении и критическом переходе, как утверждает С.П. Капица, связанном с этим значением, – говорить не приходится. Если никакого критического значения для численности не существует, тогда почему глобальный демографический переход не начался, скажем, в XIX веке?
Почему закон роста отходит от гиперболы одномоментно и скачкообразно во второй половине ХХ века, а не поэтапно и непрерывно в течение сотен лет, если следовать логике С.П. Капицы?
Почему два процесса, напрямую никак не связанные: гиперболический рост населения Земли и сжимающиеся по закону прогрессии циклы исторического развития, продолжавшиеся в течение многих тысяч лет, завершаются одновременно во второй половине ХХ века?
Феноменологическая теория Капицы на все эти вопросы никакого ответа не дает. Остается без объяснения и явление цикличности глобального исторического развития. Из закона квадратичного роста такая цикличность, так же как и устойчивость гиперболического роста, – никак не следует.
* * *
Конец эры гиперболического роста знаменуется началом глобального демографического перехода, в процессе которого взрывной рост полностью прекращается, численность населения мира достигает своего предельного значения и далее не меняется.
Продолжительность перехода примерно равна удвоенному характерному времени τ (при том, что длительность эпохи роста составляет сотни или даже многие тысячи τ), т. е. происходит он по историческим меркам мгновенно, а скорость роста численности за это время устремляется к нулю.
Вряд ли причиной перехода можно считать изменяющиеся условия жизни. Скорее всего, дело в самом человеке. Но неужели те, кто будут жить всего через пятьдесят лет будут отличаться от нас чем-то качественно новым? Ведь эволюция не происходит мгновенно. Мы такие же, как наши деды, а наши внуки будут такими же, как мы.
Тогда почему скорость роста в конце перехода всего за несколько десятилетий обратится в нуль? В чем истинная причина смены законов воспроизводства? Ответов на все эти вопросы − не существует.
* * *
Разделение процесса роста на три эпохи: гиперболическую, эпоху перехода и эпоху за переходом представляется искусственным. На самом деле имеется одна система – человечество и один процесс роста, где переход – его особая, завершающая стадия. Именно так глобальный демографический переход должен быть представлен в «настоящей» теории роста.
И эта «настоящая» теория должна в едином подходе объяснить причину роста численности населения мира по закону гиперболы, причину «мгновенного» его завершения в процессе перехода и причину стабилизации численности за переходом.
Она также должна ответить на все вопросы, связанные с «чудесным» положением на оси времени момента окончания эпохи гиперболического роста. И в такой «настоящей» теории закон квадратичного роста может оказаться всего лишь сопутствующей, непричинной (не ПОС) связью между численностью и скоростью ее роста, возникающей в процессе работы единого на всех этих этапах причинного закона.
