полная версия

Анатолий Васильевич Молчанов
Население Земли как растущая иерархическая сеть

Миф о пановско—коротаевской сингулярности^[218]

Пришел, увидел, наследил…

Тема сингулярности – одна из наиболее востребованных тем, обсуждаемых научной и околонаучной публикой в наше время. Причем обсуждается не одна, а  сразу несколько сингулярностей: демографическая, историческая, эволюционная, технологическая. Этой темой заинтересовался и известный своей изобретательской теорией роста населения Земли историк-востоковед А.В. Коротаев.

В своей работе под названием «Сингулярность XXI века в контексте Большой истории: математический анализ»^[219] Коротаев пытается доказать, что ряд событий, начинающихся с возникновения нашей Галактики и  заканчивающийся расшифровкой  кода  ДНК,  может быть  «практически идеально описан» с помощью простой «школьной» гиперболы   y = 1/x , той самой, которой описывается рост населения Земли и которую изучают в седьмом классе средней школы. Коротаев придает настолько большое значение этому своему «исследованию», что полностью перевел его на английский язык, выложил ролики на YouTube^[220][221] и выступил с лекцией на ПОЛИТ.РУ^[222]. Вот выдержка из аннотации (здесь и далее примечания и выделение текста жирным шрифтом в цитатах мои, А.М.):

 «…Показано,  что математический анализ приводимого им ряда событий, начинающегося с возникновения нашей Галактики и  заканчивающегося  расшифровкой  кода  ДНК,  действительно  практически  идеально  описывается (неизвестной самому Курцвейлу) крайне простой математической функцией с сингулярностью в районе 2029  г.  Показано  также,  что  составленный  в  начале  2000-х  (совершенно  независимо  от  Курцвейла^[223]) российским физиком А. Д. Пановым аналогичный временной ряд (начинающийся с возникновения жизни на Земле и заканчивающийся информационной революцией) также практически идеально описывается (не  использованной  А.  Д.  Пановом^[224])  математической  функцией  (крайне  сходной  с  вышеупомянутой)  с сингулярностью в районе 2027 г. Показано, что эта функция также чрезвычайно сходна с уравнением, открытым в 1960 г. Х. фон Ферстером, показавшим в своей знаменитой статье в журнале Science, что она практически идеально описывает динамику численности населения и характеризуется математической сингулярностью  в  районе  2027  г…»

Анализируя временной ряд Курцвейла–Модиса (рис. 1), Коротаев критикует Курцвейла за то, что тот не заметил, что имеет дело с гиперболической зависимостью:

 «Однако, как это ни удивительно, Курцвейл, по-видимому, не заметил, что кривая, представленная на этом рисунке, является гиперболической, и что она  описывается  уравнением,  имеющим  самую настоящую математическую сингулярность (более того  значение  этой  сингулярности,  2029 год,  не так  далеко  от  того,  что  предсказывается  самим Курцвейлом).  Это  объясняется,  прежде  всего, некоторыми  математическими  неточностями,  характерными  для технического  директора Google (достаточно  упомянуть,  что  он  упорно  называет глобальный  паттерн  ускорения  эволюции «экспоненциальным», не обращая внимания на то, что  экспоненциальная  функция  не  имеет  какой-либо сингулярности^[225])».

Не умеющий округлять результаты своих вычислений, путающий знаменатель дроби с ее числителем, не отличающий функциональную зависимость от корреляционной – никакой математик Коротаев критикует Курцвейла за математические неточности…  Но кто такой этот Коротаев? Вряд ли его имя вообще известно широкой публике. А Рэймонд Курцвейл – личность легендарная. Он создатель первых планшетных сканеров, одна из главных фигур в развитии технологий распознавания устной и письменной речи, создатель компьютерных методов преобразования текста в речь для слепых людей, изобретатель синтезаторов, на которых играли музыканты от Depeche Mode до Duran Duran, лауреат множества наград, в том числе Национальной медали США в области технологий и инноваций.

 Рис 1.  «Обратный отсчет времени до Сингулярности» согласно Р. Курцвейлу (по данным Т. Модиса). По горизонтальной оси отложены времена событий в естественном масштабе времени, отсчет от настоящего в прошлое. По вертикальной оси – те же времена, но в логарифмическом масштабе.

Рис. 2. «Школьная» гипербола y = 1/x, на которую ссылается Коротаев.

  Коротаев пишет о том, что Курцвейл  не догадался сделать простой математический анализ временного ряда на рис. 1, поэтому не получил уравнение «школьной»  гиперболы на рис. 2:

«Более  того,  как  мы  увидим  ниже, математическая  модель,  обеспечивающая наилучшую  аппроксимацию  кривой  типа  той, что изображена на Рис. 1, в основном идентична гиперболической функции, показанной на Рис. 2, т. е. y= k/x. Таким образом, если бы Курцвейл сделал простой математический анализ временного ряда на  своем  Рис. 1,  он  бы  нашел,  что  его  лучше всего  описывает  математическое  уравнение  того самого  типа,  что  он  изображает  на  своем  Рис. 2  (с  той  очень  небольшой  разницей  что  у  нас в  числителе  уравнения  оказалось  бы „2“,  а  не „1“^[226])».

 

 Но то, что не сумел сделать Курцвейл, утверждает Коротаев, сделал российский физик А.Д. Панов:

«Между тем, то, что не было сделано Р. Курцвейлом в 2005  году,  было  сделано  в  2003  году  А.Д. Пановым. Панов  проанализировал  достаточно похожий  временной  ряд  (построенный,  впрочем, на  совершенно  других  источниках^[227])  и  пришел к  очень  похожим  выводам,  но  в  гораздо  более продвинутой  форме.  Очень  важно,  что  он совершил  шаг  (к  которому  Курцвейл  был  очень близок,  но  который  он  фактически  не  сделал^[228]), который  позволил  Панову  сделать  анализ рассматриваемого  временного  ряда  гораздо более прозрачным, благодаря чему он смог точно рассчитать дату сингулярности».

 На самом деле никакой сингулярности в построениях Панова нет, поскольку отсутствует количественный показатель эволюционных и исторических изменений^[229].  А есть лишь демографическая сингулярность, которую он позаимствовал из работ С.П. Капицы, о чем Коротаев нигде в своем, так сказать, «исследовании» даже не упоминает. Из двадцати дат, представленной Пановым последовательности, ему принадлежат только восемь: от возникновения прокариот до появления приматов. Всю историческую часть своей прогрессии (12 дат, начиная с появления Homo sapiens), определяющую дату сингулярности, он скопировал из работ С.П. Капицы.  Подробнее: «Кризис планетарного цикла А.Д. Панова – отменяется!».

 Что же такого важного, «продвинутого» сделал Панов и продолжил Коротаев, что позволило последнему описать эволюцию мира от появления галактик до настоящего времени с помощью простой «школьной»  гиперболы? Нововведение, оказывается, в том, что он ввел еще одну, так сказать, переменную: «скорость сдвига парадигм».

«Курцвейл начал говорить об ускорении «скорости сдвига  парадигм» (paradigm shift rate)  (Kurzweil 2001: 5), но (что довольно типично для Главного инженера Google^[230])  почти  сразу  же  переключился на  другую  тему.  Вместе  с  тем  то,  что  было необходимо для того, чтобы сделать его диаграммы гораздо  более  понятными,  заключалось  в  том, чтобы  отложить  по  оси  ординат  не  «время  до следующего события», а именно «скорость сдвига парадигм», как это сделал Панов» «…»

  «Действительно, чтобы  преобразовать  время  до  следующего «парадигмального  сдвига»  в  скорость  сдвига парадигм, нужно было сделать довольно простую вещь: взять один год и разделить его на время до следующего  сдвига  парадигм;  в  результате,  мы получим число парадигмальных сдвигов в год, то есть именно «скорость сдвига парадигм».

Чем ошибочно такое определение скорости сдвига парадигм или частоты парадигмальных сдвигов (фазовых переходов по Панову)? Во-первых тем, что если один год поделить на интервал времени от одного парадигмального сдвига до другого, как пишет Коротаев, то получится бессмысленная (в данном случае) безразмерная величина. Следовательно, нужно просто взять величину обратную интервалу времени между повторяющимися событиями, имеющую размерность частоты.

Но понятие частоты применимо только для достаточно длинной (в идеале бесконечной) последовательности событий. О какой тогда частоте может идти речь? Поискали бы, что ли, для приличия какие-то революции внутри каждого периода эволюции. Если бы таких революций было много, все они укладывались в текущий период, тогда и можно было бы говорить о какой-то средней частоте событий за период. Здесь же речь идет всего лишь об одном (!) событии за период и величина обратная длительности этого периода определяется как частота фазовых переходов внутри периода.

Ясно, что подобное определение частоты фазовых переходов – не более, чем бессмысленная выдумка Панова. Но то, что делает с этим определением Коротаев – уже не лезет ни в какие ворота. Чтобы лучше понять, о чем идет речь, разберем все это на примере. Возьмем первые даты фазовых переходов в периодизации Панова (млн лет): возникновение жизни: 4000,  кислородный кризис: 1500, Кембрийский взрыв: 541.

К середине первого периода «пановская» частота равна 1/(4000 − 1500) = 4·10^-4 (млн лет)^-1, к середине второго: 1/(1500 − 541) = 10^-3 (млн лет)^-1. Таким же образом вычисляются «пановские» частоты фазовых переходов для всех остальных периодов эволюции.  Получается, что «пановские» частоты целиком и полностью определяются датами фазовых переходов его периодизации. Иначе говоря, эти частоты выводятся из этих дат и не могу рассматриваться в качестве количественного показателя исторических изменений (в смысле Большой истории). Поэтому ни о какой сингулярной точке эволюции в первой половине XXI века в построениях Панова не может быть и речи. (Это так, поскольку отсутствует показатель развития  устремляющийся к бесконечности при подходе к некой критической дате. Можно говорить лишь о финальной, завершающей точке Большой истории.)

Однако Коротаев так не считает: по оси 0X он откладывает даты определяющих событий, по оси 0Y – «пановские» частоты по данным Модиса—Курцвейля и Панова, обрабатывает эти данные методом степенной регрессии и получает в обоих случаях «школьную» гиперболу такую же, как в законе Фёрстера^[231]. Что приводит его в состояние неистового восторга, для выражения которого он в своей статье даже переходит на заглавные буквы:

«Собственно  говоря,  я,  конечно,  ожидал,  что уравнение,  лучше  всего  описывающее  ряд Панова,  будет  выглядеть  достаточно  похожим на  уравнение,  которое  мы  выше  получили  для ряда Модиса – Курцвейла; но, честно скажу, я не ожидал, что оно окажется ДО ТАКОЙ СТЕПЕНИ ПОХОЖИМ (в  особенности,  если  иметь  в виду  то  обстоятельство,  что  Модис  и  Панов при  идентификации  своих  рядов  опирались  на абсолютно разные источники, и полученные ими в итоге списки фазовых переходов оказались очень заметно отличающимися друг от друга). Однако  полученные  нами  в  результате  нашего анализа  данных  рядов  уравнения  оказались ПРЕДЕЛЬНО сходными…»

Рис. 3. Гиперболы Модиса—Курцвейла и Панова, полученные Коротаевым методом степенной регрессии. По оси ординат отложена  в логарифмическом масштабе «пановская» частота фазовых переходов или, что то же самое, «коротаевская» скорость макроэволюционного развития.

Рис. 4. Уравнения, описывающие по Коротаеву зависимость скорости макроэволюционного развития от времени на протяжении нескольких миллиардов лет по данным Модиса—Курцвейла и Панова.

То, что получил Коротаев, обрабатывая данные методом степенной регрессии, можно вывести в хорошем приближении элементарными методами, исходя из функциональной зависимости между переменными, которую он, похоже, не заметил. Начнем с того, что существует такая величина, как показатель ускорения истории, эволюции. Определяется он как отношение длительности предыдущего периода развития к длительности следующего. Для рядов Модиса—Курцвейла и Панова, которые можно считать геометрическими прогрессиями лишь в первом приближении, этот показатель равен среднему по всем периодам. Для периодизации Панова он равен примерно 2.7.

Рассмотрим идеальную геометрическую прогрессию времен начала фазовых переходов; отсчет времени будем вести обратный: от точки сингулярности (точки ноль). Обозначим момент начала первого фазового перехода через Т, а коэффициент ускорения через k. Тогда время начала n-ого периода эволюции равно T_n = T/kⁿ (n = 0, 1…),  n + 1-го периода: T_n+1 = T/kⁿ⁺¹, середина этих начал: T_n+1 + 0.5(T_n −  T_n+1) =  0.5(T/kⁿ⁺¹ + T/kⁿ ). Время сдвига парадигм от n-ого  периода до n + 1-ого: T_n − T_n+1; обратная от него величина и есть частота фазовых переходов или скорость макроэволюционного развития по Коротаеву.

Обозначим теперь за x_n момент времени, соответствующий середине n-ого   периода при отсчете от точки сингулярности (точки ноль): x_n = 0.5(T/kⁿ⁺¹ + T/kⁿ ), а за y_n – скорость макроэволюционного развития, соответствующую этому периоду: y_n = 1/(T/kⁿ− T/kⁿ⁺¹). Зависимость y_n(x_n) здесь задана параметрически. Исключим параметр T, перемножив эти уравнения:  x_n·y_n = (k + 1)/2(k − 1)^[232]. Получается, что все точки графика зависимости частоты фазовых переходов от времени лежат на гиперболе x·y = (k + 1)/2(k − 1).  Для периодизации Панова имеем:  x·y = (2.7 + 1)/2(2.7 − 1) ≈ 1.9, или «школьную» гиперболу y = 1.9/x = дату сингулярности берем у Фёрстера = 1.9/(2027 − t), что полностью соответствует результату Коротаева, рис. 3, 4.

Хотя ряд Панова не является прогрессией, но близок к ней и содержит большое число членов (20 членов). Поэтому совсем неудивительно, что гипербола Коротаева по данным Панова, полученная методами степенной регрессии, практически не отличается от нашей гиперболы, полученной исходя из элементарных соображений.

Кроме того, поскольку средний показатель ускорения эволюции и конечные точки рядов Модиса—Курцвейла и Панова почти не отличаются (конечная точка находится вблизи демографической сингулярности), то и гиперболы, аппроксимирующие эти зависимости, не должны существенно отличаться. Однако на Коротаева очевидный факт простейшей гиперболической зависимости (β = 1) и близость точек сингулярности гипербол Модиса—Курцвейла и Панова производят сильное впечатление:

«Собственно  говоря,  на  меня  наиболее  сильное впечатление произвело даже не то обстоятельство, что  значение  параметра  сингулярности (t*) для  обеих  регрессий  оказалось  столь  близким (разница всего в два года!). На меня даже большее впечатление произвело то, что значение показателя степени β в обеих случаях оказалось столь близким к „1“».

Близость постоянных С гиперболической зависимости  для рядов Модиса—Курцвейла и Панова  также кажется Коротаеву весьма удивительной:

«Даже  третий  параметр  уравнения (10), C, оказывается очень близким в уравнениях для ряда Модиса – Курцвейла (C= 2,1) и ряда Панова (C= 1,9)».

Но и тут совершенно нечему удивляться: при практически одинаковом среднем коэффициенте ускорения k такой результат, как мы это показали ранее, неизбежно вытекает из существования гиперболической (в первом приближении) функциональной зависимости между переменными x и y: x·y = (k + 1)/2(k − 1).

Особую радость доставляет Коротаеву примерное равенство коэффициентов детерминации  R²  рядов Модиса—Курцвейла и Панова и близость их к единице:

«Особого упоминания заслуживает исключительно высокая  корреляция  между  теоретическим кривыми, генерируемыми чрезвычайно простыми уравнениями  типа  (5),  и  эмпирическими оценками, как Модиса – Курцвейла, так и Панова. Применительно  к  ряду  Модиса – Курцвейла уравнение (5) описывает 99,89% всей вариации скорости  глобального  макроэволюционного развития на протяжении нескольких миллиардов лет, в то время как для ряда Панова это соответствие составляет 99,91% – с другой стороны, предельная близость  значений  R² для  обеих  регрессий (разница  между  ними  составляет  всего  лишь 0.02%!) впечатляет и сама по себе (подчеркну еще раз, что данное обстоятельство выглядит особенно впечатляюще в виду того, что ни Модис, ни Панов не  пытались  аппроксимировать свои  ряды  при помощи уравнений типа (5) или (10)) (т. е. уравнением «школьной» гиперболы y = C/(t₀ − t), А.М.)».

«Предельная близость» коэффициентов детерминации   R²  друг к другу и к единице объясняется тем, что зависимость между коротаевской скоростью макроэволюционного развития и датами фазовых переходов – зависимость по определению функциональная, а не корреляционная^[233]. В таком случае коэффициент детерминации R²  должен быть в точности равен единице.   Отличие в сотые доли процента, которым так восторгается Коротаев,  объясняется неизбежной погрешностью вычислений той компьютерной программы, в которой он эти вычисления проводил.

Продвигая в течение ряда лет свою теорию на разных площадках, он этого так и не понял. См., например: доклад Коротаева в институте биофизики клетки РАН, Пущино, февраль 2019 года^[234],  доклад Коротаева для англоязычной аудитории, апрель 2020 года^[235]. А также выступление Коротаева на  Полит.ру  в июле 2020 года^[236], в котором он, кроме всего прочего, заявил, что вклад С.П. Капицы в понимание гиперболического роста как явления состоит лишь в его популяризации, тогда как  основная заслуга в его открытии и объяснении принадлежат фон Фёрстеру, Кремеру и, разумеется, Коротаеву:

«В принципе, я могу сказать, что, насколько я понимаю, к тому же С.П. Капице бóльшая часть историков относится с очень большим подозрением^[237]. Я тоже к нему изначально отнесся с очень большим подозрением, и только когда сам стал разбираться, лезть вглубь, выяснилось, что да – правда, это не совсем Капица, а скорее фон Ферстер, Кремер и так далее (т. е. Коротаев, А.М.), но Капица все-таки в высокой степени популяризовал результаты, полученные фон Ферстером^[238]».

Следует также отметить, что излишней скромностью он не страдает и свой вклад (на уровне бреда) в исследования Модиса—Курцвейла—Панова отмечает как особо впечатляющий. С чем, безусловно, нельзя не согласиться.

Чем же порочно исследование Коротаева? Прежде всего, тем, что скорость макроэволюционного развития, введенная Пановым и Коротаевым, как величина обратная интервалу времени между революциями, показателем развития ни в каком смысле не является. Это так, потому что связь между датами революций и коротаевской скоростью макроэволюционного развития – связь чисто функциональная. Поясним это на примере.

Х. Фёрстер, П. Мориа и Л. Эмиот, анализируя большой объем демографических данных от начала новой эры до 1960 года по методу наименьших квадратов, выяснили, что зависимость численности населения мира от времени хорошо аппроксимируется степенной функцией с показателем n = −1.

В данном случае имеется зависимость реального показателя роста и развития системы от времени N(t), гипербола его роста и точка ее сингулярности. Чего никак нельзя сказать о фиктивном показателе макроэволюционных изменений y(t), введенном Пановым и Коротаевым, и фиктивной пановско—коротаевской сингулярности. Но Коротаев этой разницы не видит и ставит знак равенства между своим псевдонаучным исследованием и работой Фёрстера и его коллег:

«Особо  отметим,  что  степенная регрессия  для  всех  трех  рядов  дала  значение показателя степени β, крайне близкое к „1“ (1,003 для  ряда  Модиса  –  Курцвейла,  1,01 для ряда Панова, и 0,99 у Х. фон Ферстера для динамики численности населения мира)».

Интегрируя гиперболическое уравнение скорости макроэволюционного развития y_t = C/(t*  −  t), Коротаев вводит понятие планетарной сложности n_t = const − C∙ln(t* − t), которая росла по логарифмическому закону последние четыре миллиарда лет, включая и новейшее время^[239]. Абсурдную величину планетарной (глобальной) сложности и скорости ее роста он сравнивает с численностью и скоростью роста населения Земли.

«Таким образом, планетарная сложность (n) растет по существенно другому закону, чем численность населения мира (N) (см. Табл. 1)  Как  мы  видим,  численность  населения  Земли (N)  росла  (до  начала  1970-х  гг.)  по  простому гиперболическому  закону  (N_t = C/(t*  −  t)),  а планетарная  сложность  увеличивалась  по логарифмически-гиперболическому  закону  (n_t = const − C∙ln(t* − t))^[240]».

Табл. 1. Сопоставление законов роста глобальной/планетарной сложности и увеличения численности населения Земли по А.В. Коротаеву.

Коротаевская теория роста глобальной сложности основана на трех положениях, которые он так и не сформулировал:

1. Большую историю можно разбить на циклы, длительность которых постоянно сокращается. Начало и конец каждого такого цикла, т. е. даты глобальных фазовых переходов t_n по Панову, строго фиксированы на шкале времени.

2. Отношение длительности каждого предыдущего цикла к длительности следующего (t_n+1 −  t_n)/(t_n −  t_n-1) = k_n – величина в первом приближении постоянная. Коэффициент ускорения эволюции k определяется как среднее по всем k_n.

3. Существует интегральный показатель G_t: глобальная (планетарная)  сложность или, что то же самое, индекс глобальной сложности (для одной и той же величины Коротаев зачем-то придумывает несколько названий), которым может быть измерен уровень развития, достигнутый планетарной системой к  моменту времени t. (Таким показателем может быть, например, сумма локальных фазовых переходов, связанных с каждым  глобальным фазовым переходом, пройденным системой к данному моменту времени.) Постулируется постоянный прирост индекса глобальной сложности за цикл:  C_n =  C =  const.

Приняв эти положения и определив глобальную сложность G_n к моменту окончания n-го цикла как сумму ее приростов за все прошедшее время,  докажем, что G(t) будет расти приблизительно и в среднем по логарифмическому закону, а ее скорость, как производная по времени, в среднем и в гораздо худшем приближении, – по гиперболическому.

Время будем отсчитывать от момента начала самого первого фазового перехода t₀ = 0 (например, от момента образования Земли или даже от Большого взрыва). Коэффициент ускорения примем таким же, как в периодизации Панова k ≈ 2.7 ≈ e  (можно взять любую  другую величину, на результат это не повлияет). Для дальнейшего удобнее использовать b = 1/k ≈ 1/е ≈ 0.37.

Длительность первого периода обозначим через T, тогда момент начала n-ого глобального фазового перехода определяется по формуле для суммы геометрической прогрессии t_n = T(1 − bⁿ)/(1 − b), n = 0, 1… Уровень планетарной сложности исчисляется, согласно Коротаеву, «числом  (n)  происшедших до данного момента времени „биосферных революций“ (по Панову – Фомину) или „скачков сложности“/complexity jumps (по Модису)»:

«При  этом  уровень  планетарной  сложности  на  данный момент  времени  будет  исчисляться  числом  (n)  происшедших до данного момента времени „биосферных революций“ (по Панову – Фомину) или „скачков сложности“/complexity jumps (по Модису) (исходя из допущения, что каждый «скачок сложности») добавляет к текущему n еще один порядок/уровень сложности» «…»

«…Отметим, что, как мы показали выше, n также вполне можно интерпретировать как индекс глобальной сложности».

Следовательно, согласно Коротаеву, индекс глобальной сложности растет от цикла к циклу по закону арифметической прогрессии G_n = A + C·n^[241]  на момент начала цикла, или G_n = A + C·(n + 0.5) на момент его середины, где A и С некоторые постоянные, которые Коротаев принимает равными нулю и  единице, соответственно. Примем G_n = C·n.

Сингулярную точку эволюции как момент времени, к которому приближаются циклы эволюции, но никогда ее не достигают можно определить, если в формуле для t_n  n устремить к бесконечности: t_s = T/(1 – b). Теперь, если из уравнения t_n = T(1 − bⁿ)/(1 − b)  величину n выразить через t_n и подставить в уравнение G_n = C·n, получим G_n = A − C·ln(1 − t_n/t_s), где А – произвольная безразмерная постоянная.

По этой формуле G_n определяется только в точках глобальных фазовых переходов, т. е. это точечная функция. Для определения глобальной сложности в любой момент времени t служит ее приближенное интерполяционное выражение: G_t = A − C·ln(1 − t/t_s) = A + C·lnt_s − C·ln(t_s − t), которое в точности соответствует некорректному результату Коротаева, с единственной разницей, что безразмерная константа A отделена здесь от C·lnt_s. Закон гиперболического роста темпов глобальной сложности по Коротаеву y = C/(2027 − t) может быть получен дифференцированием  выражения G_t = A − C·ln(1 − t/t_s) по времени.

  Периодизация Панова, для которой Коротаев определяет G_t, включает добиологический этап универсальной эволюции, биологическую эволюцию, антропогенез и период человеческой истории. Наибольшее число фазовых переходов приходится на ее историческую часть.

В этот промежуток времени численность населения Земли росла по закону геометрической прогрессии на интервалах, сокращающихся по закону той же самой геометрической прогрессии. т. е. она росла гиперболически и в соответствии с принципом демографического императива Капицы по гиперболическому же, а не по логарифмическому закону происходило развитие (а не скорость развития, темпы роста глобальной сложности  по Коротаеву) человечества как системы. Следовательно, теория Коротаева входит в явное противоречие с феноменологической теорией Капицы.

Здесь можно также провести аналогию с исследованием профессора Иэна Морриса из Стэнфордского университета, которое он представил в своей книге [46]. Моррис выбирает ряд ключевых факторов, характеризующих прогресс, а затем сводит их к одному показателю, который называет индексом социального развития человечества. И вот этот индекс растет практически по закону той же самой гиперболы, по закону которой растет население Земли (что соответствует теории Капицы, а не Коротаева). Следовательно, если исходить из исследования Морриса, – можно говорить о гиперболическом росте индекса социального развития^[242] и сингулярной точке человеческой истории.

Но имеет ли право на существование индекс глобальной сложности планетарной системы, введенный Коротаевым, гипербола темпов его роста и связанная с ней сингулярность Большой истории?  Для того, чтобы ответить на этот вопрос вернемся к исходным предположениям. Если первое из них о том, что Большую историю можно разбить на циклы сокращающейся длительности считается в настоящее время общепризнанным, то второе о постоянстве показателя этого сокращения – таковым уже не является. Третье же предположение о фиксированном приросте какой-то вымышленной глобальной сложности за цикл, кроме А.Д. Панова, А.В. Коротаева, С.В. Циреля и А.А. Фомина – не разделяет никто.

Уравнение G_t = A − C·ln(1 − t/t_s) получено в результате упрощений и приближений, таких как усреднение коэффициента ускорения по всем циклам и интерполяции зависимости G_n = A − C·ln(1 − t_n/t_s) на все времена Большой истории. Но главное бездоказательное предположение, на котором основана вся теория Коротаева, – это предположение о постоянстве прироста индекса глобальной сложности за цикл: G_n+1 − G_n  = const = C.

Почему это так можно понять, рассмотрев все возможные варианты роста некоторой функции y_n на дискретном множестве значений аргумента x_n, которое в простейшем и самом распространенном случае представляет арифметическую или геометрическую прогрессию. Если аргумент x_n растет по закону арифметической прогрессии, а функция y_n – также по закону арифметической прогрессии, то зависимость y_n(x_n) будет линейной.

Если аргумент x_n и функция y_n оба изменяются по по закону геометрической прогрессии с взаимно обратными знаменателями, то зависимость y_n(x_n) будет гиперболической. Если аргумент x_n растет по закону арифметической/геометрической прогрессии, а функция по закону геометрической/арифметической прогрессии, то зависимость y_n(x_n) будет экспоненциальной/логарифмической.

В данном случае логарифмическая зависимость G_n = −C·ln(1 − t_n/t_s) есть следствие того, что длительность фазовых переходов сокращается по закону геометрической прогрессии, а величина глобальной сложности растет при этом по закону арифметической прогрессии. И коротаевский закон логарифмического роста индекса глобальной сложности будет справедлив лишь в том случае, если его прирост, приходящийся на один фазовый переход (биосферную революцию), есть величина постоянная. В построениях Коротаева  прирост G_n на единицу  за каждый фазовый переход просто постулируется  (G_n+1 = G_n + 1):

«При этом уровень планетарной сложности на данный момент времени будет исчисляться числом (n) происшедших до данного момента времени «биосферных революций» (по Панову – Фомину) или «скачков сложности»/complexity jumps (по Модису), исходя из допущения, что каждый «скачок сложности» добавляет к текущему n еще один порядок/уровень сложности.»

В таком случае и логарифмический рост индекса глобальной сложности, и гиперболический рост темпов его роста есть следствие факта сжатия исторического времени по закону геометрической прогрессии и этого взятого с потолка постулата. Теперь становится понятно откуда растут ноги у пановско—коротавской сингулярности.

Делая прогноз на ближайшее будущее, Коротаев смягчает свою прежнюю формулировку (основанную на его изобретательской теории), согласно которой с окончанием роста населения Земли закончится и всякая творческая деятельность. В соответствии с его новой теорией логарифмического роста индекса глобальной сложности, найденная им сингулярность служит индикатором зоны перегиба, после чего начнется долгосрочное замедление темпов развития.

 «Собственно говоря, как мы могли видеть, данная статья  представляет  собой  по  всей  видимости первую попытку в явном виде «экстраполировать линию гиперболического ускорения в будущее»…

«Итак,  проведенный  нами  анализ  позволяет предполагать  наличие  достаточно  строгих  глобальных макроэволюционных закономерностей (описывающих  эволюцию  сложности  на  нашей планете  за  последние  несколько  миллиардов лет),  которые  могут  удивительно  точно описываться  крайне  простыми  математическими функциями. Вместе с  тем этот  анализ  заставляет предполагать,  что  в  районе  точки  сингулярности нет  основания  вслед  за  Курцвейлом  ожидать невиданного  (на  много  порядков)  ускорения темпов  технологического  развития;  имеются бóльшие  основания  интерпретировать  эту  точку как индикатор зоны перегиба, после прохождения которой  темпы  глобальной  эволюции  будут систематически  в  долгосрочной  перспективе замедляться».

Не следует принимать всерьез прогноз Коротаева на долгосрочное замедление темпов развития, поскольку он основан на его неадекватной теории и на неподходящей аналогии с процессом замедления роста населения Земли.