Владимир Костин
Теоретические основы инвестиций в акции, облигации и стандартные опционы
В течение срока действия опциона неизбежны колебания рыночной стоимости базисного актива, за счёт чего возникают благоприятные условия для получения дохода при досрочном исполнении или выгодной покупки/продажи американского опциона.
Чем больше времени до даты исполнения опциона, тем больше вероятность возникновения благоприятных условий для получения дохода и тем выше временная стоимость опциона. По мере истечения срока действия опциона временная стоимость снижается и на дату исполнения становится равной нулю. В этом случае премия по опциону (или стоимость опциона) равна внутренней стоимости опциона.
На рис. 10.2 представлены типовые зависимости стоимости европейских опционов «колл» и «пут» от цены базисного актива (например, акции) до истечения срока действия опциона [1]. Для сравнения на этом же рисунке приведены ломаные линии (пунктирные линии), которые характеризуют внутреннюю стоимость опционов «колл» и «пут» и позволяют на графиках выделить временную стоимость.
а)
б)
Рис. 10.2. Стоимость европейских опционов «колл» (а) и «пут» (б) в зависимости от цены акции до истечения срока действия опциона
Анализ графиков на рис. 10.2 показывает, что стоимость опциона (или премия по опциону), как отмечалось выше, не может быть ниже его внутренней стоимости.
Кроме того для опциона «колл» характерны следующие особенности [1]:
чем ниже стоимость базисного актива, тем ниже стоимость опциона;
при нулевой стоимости базисного актива стоимость опциона также равна нулю;
при неограниченном росте стоимости базисного актива стоимость опциона стремится к внутренней стоимости опциона.
Для опциона «пут» характерны следующие особенности [1]:
чем выше стоимость базисного актива, тем ниже стоимость опциона;
при нулевой стоимости базисного актива стоимость опциона равна цене исполнения опциона;
при неограниченном росте стоимости базисного актива стоимость опциона стремится к нулю.
В условиях непрерывного изменения временной стоимости опциона и случайных колебаний внутренней стоимости опциона (по причине естественной рыночной нестабильности стоимости базисного актива) из–за отсутствия надёжных моделей оценки опциона у инвесторов возникают трудности по определению текущей премии по опциону. Поэтому и в настоящее время разработка моделей оценки опционов является актуальной задачей инвестиционного менеджмента.
Американские опционы «колл», по базисным акциям которых не выплачиваются дивиденды, до даты исполнения целесообразно продавать, но не исполнять по причине потери временной стоимости. В качестве примера рассмотрим базисную акцию, текущая цена которой составляет 110 долл. Если американский опцион «колл» на базисную акцию имеет цену исполнения 100 долл. и продаётся за 14 долл., то внутренняя его стоимость составит 110–100=10 долл., а временная – 14–10=4 долл.
При досрочном исполнении американского опциона «колл» инвестор приобретёт базисную акцию за 100 долл. После продажи акции по рыночной цене за 110 долл. инвестором будет получен доход, равный внутренней стоимости опциона 110–100=10 долл. Если же инвестор продаст опцион по рыночной цене, равной сумме внутренней и временной стоимости, то доход инвестора составит 14 долл.
Следовательно, инвестору, купившему американский опцион «колл» на акцию, по которой не выплачиваются дивиденды, не целесообразно исполнять опцион до даты его исполнения. Поскольку на дату исполнения американские опционы не отличаются от европейских при прочих равных условиях премии по американским и европейским опционам «колл» можно полагать одинаковыми [1].
10.2. Биномиальная модель оценки европейских опционов
Ценой покупки опциона является премия, которая назначается продавцом и выплачивается покупателем в момент покупки опциона независимо от результата последующего исполнения контракта.
Биномиальную модель оценки опционов представим на примере оценки европейских опционов «колл» и «пут» на акцию, по которой в течение срока действия опциона не выплачиваются дивиденды (описание биномиальной модели и пример заимствованы из [1, с.651– 653]).
Предположим, что текущая цена гипотетической базисной акции равна долл., через год стоимость данной акции будет составлять долл. или долл., цена исполнения опционов «колл» и «пут» одинакова и равна долл., а дата исполнения опционов назначена через год после заключения контракта. Предполагается также, что инвесторы могут воспользоваться кредитом (заёмными средствами) под годовых и предоставлять кредит, покупая безрисковые облигации с доходностью годовых.
Биномиальная модель оценки европейского опциона «колл». При цене исполнения долл. стоимость опциона «колл» на дату исполнения составит долл. (если акция будет стоить 125 долл.) или долл. (если акция будет стоить 80 долл.). На рис. 10.3 данная ситуация представлена в виде «дерева цены», которое имеет только две «ветви» (поэтому модель и называется биномиальной).
Рис. 10.3. Стоимости опциона «колл» и на дату исполнения («дерево цены»)
Биномиальная модель оценки опциона «колл» основана на выявлении условий воспроизведения денежных потоков, генерируемых опционом и базисной акцией. При идентичности денежных потоков опцион «колл» считается равноценным базисной акции.
В соответствии с начальными условиями через год курс акции может пойти вверх или вниз. Для удобства в [1] эти два состояния названы как «верхнее положение» и «нижнее положение» соответственно.
Для определения премии по опциону «колл» найдём взаимосвязь между суммой собственных средств инвестора и размером кредита , необходимых для приобретения базисных акций, которые обеспечат на дату исполнения точное копирование денежных потоков (выплат) одного опциона «колл».
В «верхнем положении» совокупность базисных акций при стоимости кредита (в расчёте за срок действия опциона) обеспечивает выплаты в размере , а в «нижнем положении» – . Учитывая, что в «верхнем положении» и «нижнем положении» стоимости опциона равны и соответственно, условие идентичности денежных потоков базисных акций и одного опциона «колл» определяется системой уравнений
В результате решения данной системы уравнений получаем
Величину определяют также как коэффициент хеджирования [1] – это количество акций, которое можно эффективно хеджировать одним опционом «колл», или отношение изменения цены опциона к изменению цены базисной акции.
Чтобы воспроизвести опцион «колл» необходимо приобрести базисных акций за собственные и заёмные средства , тогда при текущей стоимости одной акции коэффициент хеджирования можно рассчитать по формуле
Используя соотношения (10.1), (10.2) и (10.3), получаем
Если сумма собственных средств инвестора , затрачиваемых инвестором на приобретение базисных акций, будет равна премии, необходимой для приобретения одного опциона «колл», то совокупность акций будет равноценна одному опциону «колл». Следовательно, величина , рассчитываемая по соотношению (10.4), является также и премией по опциону «колл».
Используя количественные показатели опциона «колл», которые приведены в начале параграфа, в результате расчётов получаем долл., долл. и . На финансовом языке это означает, что для воспроизведения выплат по одному опциону «колл» инвестору необходимо получить кредит в размере 41,2 долл. под 8%–ов годовых и приобрести 0,556 базисной акции по цене 100 долл. за одну акцию, затратив 55,6 долл. [1]. Следовательно, для приобретения 0,556 базисной акции кроме заёмных средств потребуется 55,6 – 41,2 = 14,4 долл. собственных средств инвестора. Поскольку выплаты по базисной акции и опциону идентичны, то можно сделать вывод, что стоимость опциона или премия по опциону «колл» составляет долл. Для наглядности результаты расчётов денежных потоков, генерируемых базисной акцией и опционом «колл» на дату исполнения сведены в табл. 10.1
Таблица 10.1
Денежные потоки, генерируемые базисной акцией и опционом «колл»
Актив
Выплаты в
«верхнем положении»,
долл.
Выплаты в
«нижнем положении»,
долл.
Базисная
акция
1250,556 1,0841,2
25
800,556 1,0841,2
0
Опцион
«колл»
25
0
Таким образом, приобретение инвестором 0,556 акции с привлечением собственного капитала в размере 14,4 долл. и заёмных средств в размере 41,2 долл. под 8%–ов годовых равноценно приобретению одного опциона «колл» за 14,4 долл.
Биномиальная модель оценки европейского опциона «пут». При цене исполнения долл. стоимость опциона «пут» на дату исполнения составит долл. (если акция будет стоить 125 долл.) или долл. (если акция будет стоить 80 долл.). На рис. 10.4 представлено «дерево цены» такого опциона «пут».
Рис. 10.4. Стоимости опциона «пут» и на дату исполнения («дерево цены»)
Биномиальная модель оценки опциона «пут» (как и опциона «колл») основана на выявлении условий воспроизведения денежных потоков, генерируемых продаваемыми опционом и базисной акцией. При идентичности денежных потоков продажа опциона «пут» считается равноценной продаже базисной акции.
Для определения премии по опциону «пут» найдём взаимосвязь между суммой собственных средств инвестора и размером кредита , необходимых для приобретения базисных акций, которые обеспечат на дату исполнения точное копирование денежных потоков (выплат) одного опциона «пут».
В «верхнем положении» совокупность акций при стоимости кредита (в расчёте за срок действия опциона) обеспечивает выплаты в размере , а в «нижнем положении» – . Учитывая, что в «верхнем положении» и «нижнем положении» стоимости опциона «пут» соответственно равны и , условие идентичности денежных потоков опциона «пут» и базисной акции определяется системой уравнений
В результате решения данной системы уравнений получаем
Величину определяют также и как коэффициент хеджирования применительно к опциону «пут».
Чтобы воспроизвести опцион «пут» необходимо приобрести базисных акций за собственные и заёмные средства , тогда при текущей стоимости одной акции коэффициент хеджирования можно рассчитать по формуле
На основании соотношений (10.5), (10.6) и (10.7) получаем
По аналогии с опционом «колл» справедливо утверждение, что величина является премией за опцион «пут».
Используя количественные показатели опциона «пут», которые приведены в начале параграфа, в результате расчётов получаем долл., долл. и . Следует обратить внимание на то, что величины и для опциона «пут» имеют отрицательные значения. На финансовом языке это означает, что для воспроизведения выплат по одному опциону «пут» инвестору необходимо продать 0,444 базисной акции по цене 100 долл. за одну акцию, что позволит получить 44,4 долл. дохода, добавить к этой сумме 7 долл. собственного капитала и предоставить кредит под 8%–ов годовых (т.е. приобрести безрисковые облигации с доходностью годовых) на сумму 51,4 долл. Поскольку выплаты по базисной акции с учётом выплат по безрисковым облигациям и опциону идентичны, то можно сделать вывод, что премия за опцион «пут» составляет долл. Для наглядности результаты расчётов денежных потоков, генерируемых базисной акцией и опционом «пут» на дату исполнения сведены в табл. 10.2.
Таблица 10.2
Денежные потоки, генерируемые базисной акцией и опционом «пут»
Актив
Выплаты в
«верхнем положении»,
долл.
Выплаты в
«нижнем положении»,
долл.
Базисная
акция
1250,444 1,0851,4
0
800,444 1,0851,4
20
Опцион
«пут»
0
20
Таким образом, продажа инвестором 0,444 акции с привлечением собственного капитала в размере 7 долл. и предоставлении кредита 51,44 долл. под 8%–ов годовых равноценна продаже одного опциона «пут» за 7 долл.
Паритет опционов «колл» и «пут». В [1] отмечаются две характерные особенности опционов «колл» и «пут» на одну и ту же акцию с едиными ценой исполнения и датой исполнения. Во–первых, очевидна взаимосвязь между количеством акций (или коэффициентами хеджирования) и (см. соотношения (10.2) и (10.6))
Во–вторых, в [1] обращается также внимание на взаимосвязь между стоимостью опционов (премиями по опционам) «колл» и «пут» (см. соотношения (10.4) и (10.8))
Данное равенство означает равноценность портфеля, содержащего опцион «пут» и базисную акцию, и портфеля, содержащего опцион «колл» и безрисковые облигации, затраты на приобретение которых равны дисконтированной цене исполнения опционов.
В биномиальной модели оценки опционов равенство (10.9) определяется как паритет опционов «колл» и «пут».
Безрисковый портфель на основе опциона «пут». Предположим, что портфель содержит контракт на один проданный опцион «пут» и базисных акций, которые инвестор планирует продать по истечении срока действия опциона. Установим величину , при которой на дату исполнения обеспечивается точно определённый (безрисковый) доход независимо от курса базисной акции.
В «верхнем положении» стоимость базисных акций составит , затраты на обслуживание контракта по опциону «пут» – , а результирующая стоимость портфеля – .
В «нижнем положении» стоимость базисных акций составит затраты на обслуживание контракта по опциону «пут» – , а результирующая стоимость портфеля – .
Портфель является безрисковым, если величина подобрана таким образом, чтобы и в «верхнем положении» и в «нижнем положении» стоимость портфеля была бы одинаковой, т.е.
Из данного равенства несложно получить формулу для расчёта величины (см. соотношение (10.6)), при которой будет сформирован безрисковый портфель.
При долл., долл. и долл. (см. исходные данные примера в начале параграфа) получаем: и долл. независимо от курса базисной акции.
Формирование безрискового портфеля возможно только при заранее известных значениях курсов акции в «верхнем положении» и «нижнем положении». В условиях априори неизвестных значений и безрисковый портфель не реализуем.
Следует отметить, что биномиальная модель удобна для упрощённого понимания специфики оценки опционов. Для практической оценки опционов такая модель неприемлема. Это обусловлено тем, что, во–первых, стоимость базисного актива не может принимать одно из двух дискретных значений. Во–вторых, цена исполнения не может не иметь никакого отношения к этим двум значениям стоимости базисного актива (т.е. цена исполнения должна также соответствовать одному из двух значений стоимости базисного актива).
Биномиальная модель оценки опционов может быть усложнена за счёт увеличения количества ветвей «дерева цены» [1]. Такой приём позволяет соответственно увеличить и количество возможных дискретных значений стоимости базисного актива.
Однако в действительности стоимость базисного актива является не дискретной, а непрерывной случайной величиной, и может принимать любое значение в определённой области возможных значений. При этом вероятность того, что непрерывная случайная величина примет какое–либо конкретное дискретное значение равна нулю [2]. Поэтому допустимость модернизации биномиальной модели за счёт механического увеличения количества ветвей «дерева цены» должна иметь соответствующую доказательную базу, чтобы использовать данную модель для практической деятельности.
Кроме того, в биномиальной модели оценки опциона уже при постановке задачи игнорируется сам факт случайной природы ценообразования базисного актива, что проявляется в отсутствии исходной информации о вероятности принятия стоимости базисного актива того или иного дискретного значения. Это исключает возможность расчёта таких важнейших статистических параметров опциона как его средняя доходность, вероятность успешного исполнения опциона и т.п. По этой же причине не представляется возможным сопоставление инвестиционных качеств опционов, а также можно утверждать, что начальные условия биномиальной модели сформулированы некорректно.
Необходимо подчеркнуть, что исследования закономерностей формирования случайного дохода, генерируемого такими рискованными активами как акция и опцион, не возможны без привлечения аппарата теории вероятностей. Поэтому для инвестора (аналитика) биномиальная модель оценки опционов может представлять лишь умозрительный интерес.
10.3. Модель оценки европейских опционов Блэка–Шоулза
Авторами модели являются Ф.Блэк, а также лауреаты Нобелевской премии по экономике М.Шоулз и Р.Мертон (премия присуждена «за новый метод определения стоимости производных ценных бумаг»). Данная модель получила широкое распространение и, помимо всего прочего, используется для оценки всех производных активов [1].
Вместе с тем в [1, с. 659] отмечается, что: «Она (т.е. формула Блэка–Шоулза) часто применяется теми, кто пытался обнаружить ситуации, когда рыночная цена опциона серьёзно отличается от его действительной цены. Опцион, который продаётся по существенно более низкой цене, чем полученная по формуле Блэка–Шоулза, является кандидатом на покупку; и наоборот, – тот, который продаётся по значительно более высокой цене, – кандидат на продажу». Констатация факта наличия существенного несоответствия рыночной цены с расчётной стоимостью опциона свидетельствует о целесообразности критического отношения к формуле Блэка–Шоулза.
При разработке модели оценки европейских опционов авторами были приняты следующие допущения:
по базисному активу, в частности акции, в течение всего срока действия опциона дивиденды не выплачиваются;
отсутствуют транзакционные затраты, связанные с покупкой или продажей базисного актива и опциона;
краткосрочная безрисковая ставка известна и является постоянной в течение всего срока действия опциона;
любой покупатель ценной бумаги может получать кредит по краткосрочной безрисковой ставке в течение всего срока действия опциона;
продажа ценных бумаг разрешается без ограничений, и при этом продавец получает немедленно всю наличную сумму за проданную ценную бумагу по текущей цене;
стоимость базисного актива является случайной величиной с логарифмически нормальной плотностью распределения.
Формула Блэка–Шоулза для оценки стоимости европейского опциона (или премии по опциону) «колл» имеет вид [1]
где
– текущая рыночная стоимость базисного актива; – цена исполнения опциона; – непрерывно начисляемая безрисковая ставка; – среднее квадратическое отклонение доходности базисного актива, представленное как непрерывно начисляемый процент в расчёте на год; – относительное время между покупкой опциона и моментом исполнения опциона.
При определении относительного времени обычно полагают, что:
цена базисного актива фиксируется в конце каждого торгового (операционного) дня на момент закрытия биржи;
календарный год содержит 252 торговых дня;
срок действия опциона измеряется как количество торговых дней до даты исполнения опциона включительно;
в день исполнения европейского опциона и ;
досрочное исполнение американского опциона возможно при и .
В соответствии с изложенным, относительное время между покупкой опциона и моментом исполнения опциона можно рассчитать по формуле
Следовательно, срок действия стандартных 3–х, 6–ти и 9–ти месячных опционов в единицах относительного времени составляет 0,25, 0,5 и 0,75 соответственно.
Необходимо обратить внимание на то, что – это дисконтированная цена исполнения опциона на базе непрерывно начисляемого процента, причём при безрисковая ставка может быть определена по формуле [1]. Кроме того, величина является не чем иным как текущим СКО доходности базисного актива.
Для европейского опциона «пут» формула Блэка–Шоулза преобразуется к виду [1]
На рис. 10.5 представлены зависимости стоимости европейских опционов «колл» и «пут» от текущей стоимости базисной акции , рассчитанные с использованием формул (10.10) и (10.11)
а)
б)
Рис. 10.5. Зависимости стоимости европейских опционов «колл» (а) и «пут» (б) от стоимости базисной акции при: долл., , , (кривые 1, 2, 3 соответственно)
Для сопоставления зависимостей стоимости европейских опционов и на рис. 10.5 изображены также ломаные линии, характеризующие внутреннюю стоимость опционов «колл» и «пут». Анализ полученных зависимостей показывает, что стоимость европейского опциона, рассчитанная по формуле Блэка–Шоулза, не может быть ниже внутренней стоимости опциона, т.е.
Таким образом, положение о том, что стоимость европейского опциона равна сумме внутренней и временной стоимости, следует из формулы Блэка–Шоулза.
Не вникая в технологию вывода формулы Блэка–Шоулза, сконцентрируемся на анализе конечных результатов.
Модель оценки европейских опционов Блэка–Шоулза базируется на расчёте текущей доходности базового актива (см. п. 2.4), а также на предположении о зависимости текущего СКО доходности базисного актива от относительного времени между покупкой опциона и моментом исполнения опциона . При этом принята гипотеза, что по мере истечения срока действия европейского опциона текущее СКО доходности актива стремится к нулю, вследствие чего временная стоимость опциона монотонно уменьшается также до нуля.
Действительно, в соответствии с формулами (10.10) и (10.11) при (т.е. в день исполнения опциона) временная стоимость европейского опциона становится равной нулю, а премия по опциону определяется исключительно его внутренней стоимостью. Сравнительный анализ зависимостей 1, 2 и 3 на рис. 10.5 показывает, что уменьшение относительного времени приводит к убыванию временной стоимости и график стоимости опциона приближается к ломаной линии, которая характеризует внутреннюю стоимость опциона. Таким образом, формально формула Блэка–Шоулза адекватно отражает одну из закономерностей формирования временной стоимости европейского опциона.
Однако в модели оценки европейских опционов Блэка–Шоулза игнорируются последствия того, что при , т.е. при , стоимость базисного актива в день исполнения опциона становится не случайной, а точно известной, равной математическому ожиданию цены базисного актива. Данное обстоятельство, во–первых, должно позволять инвестору гарантированно правильно прогнозировать цену базисного актива на день исполнения опциона. Во–вторых, это означает трансформацию рискованного актива в день исполнения опциона в безрисковый актив. Очевидно, что ни первое, ни второе положение не согласуется с действительностью.
Зависимость СКО доходности базисного актива от относительного времени приводит и к другому парадоксу. Предположим, что одновременно продаются 3–х, 6–ти и 9–ти месячные опционы на один и тот же базисный актив. Согласно формуле Блэка–Шоулза на начало срока действия опционов базисный актив будет обладать одновременно тремя значениями СКО доходности – , , соответственно, что также не может соответствовать действительности.
Природа зависимости текущего СКО доходности базисного актива от одного из параметров производной ценной бумаги (опциона) в формулах Блэка–Шоулза не имеет логического объяснения. Как следствие, на практике основной проблемой оценки стоимости опциона по формуле Блэка–Шоулза является определение значения . Для этого в [1, с. 662–664] предлагается несколько специфических методов.
Один из таких методов основан на использовании динамики исторических цен базисного актива и определении текущей и средней доходности актива с последующим расчётом СКО капитальной доходности за определённый период времени (несостоятельность данного метода обсуждается в п. 2.4).
В других методах используется субъективная (экспертная) оценка вероятности возможных будущих цен на базисный актив, на основе которой рассчитывается СКО доходности . Очевидно, что результаты подобных расчётов невозможно принять в качестве достоверных.
Самый неординарный метод основан на гипотезе о том, что в настоящий момент европейский опцион правильно оценён рынком. Используя «правильную» рыночную цену опциона и формулу Блэка–Шоулза, не представляет особых затруднений определение и соответствующего «правильного» значения СКО доходности базисного актива с последующим использованием этого значения для расчёта рыночной цены другого европейского опциона. Очевидно, чтобы воспользоваться данным методом инвестор должен обладать навыками по различению «правильных» от «неправильных» рыночных оценок опционов, но в этом случае отпадает сама необходимость в каких–либо формулах оценки опционов.
Судя по многочисленным вариантам методов определения СКО доходности и отсутствию оценок достоверности таких расчётов, невозможно отдать предпочтение ни одному из них.
По вполне понятным причинам из–за отсутствия надёжного метода расчёта СКО доходности ни владелец, ни потенциальный покупатель не способны однозначно оценить по формуле Блэка–Шоулза истинную стоимость европейского опциона, что и предопределяет несоответствие рыночной цены с расчётной стоимостью опциона.
Согласно формуле Блэка–Шоулза стоимость европейских опционов является функцией случайной стоимости базисного актива , при этом для опциона «колл» зависимость является монотонно возрастающей, а для опциона «пут» зависимость – монотонно убывающей (см. рис. 10.5). Такой характер зависимостей воспринимается аналитиками настолько естественным и неоспоримым, что, как следует из содержания многочисленных литературных источников, не вызывает сомнений и не требует каких–либо объяснений.
Предположим, что на день первичной продажи европейского опциона «колл» его продажа осуществлена по цене , которая согласно формуле Блэка–Шоулза соответствует цене базисного актива . В течение срока действия опциона его владелец может продать контракт с целью получения капитального дохода или же дождаться окончания срока действия опциона, надеясь на удачное исполнение опциона. Целесообразность принятия того или иного решения должна оцениваться владельцем опциона каждый торговый день.
Если в дальнейшем текущая дисконтированная цена базисного актива снизится по отношению к цене , то и снизится текущая дисконтированная цена опциона «колл» по отношению к цене . Поскольку владелец должен принять решение о явной нецелесообразности продажи опциона и продолжить ожидания благоприятной возможности по продаже или исполнению опциона. Следовательно, при продажа европейского опциона «колл» убыточна и поэтому иррациональна, хотя и теоретически возможна. Данное ограничение в формуле Блэка–Шоулза не принимается во внимание.
Если текущая дисконтированная цена базисного актива увеличится по отношению к цене , то и увеличится текущая дисконтированная цена опциона «колл» по отношению к цене . При недостаточном приросте цены опциона (по мнению владельца) продажа опциона должна быть отложена до лучших времён. В формуле Блэка–Шоулза данный фактор также игнорируется.
Владелец явно будет заинтересован в продаже опциона при таком приросте цены , когда за оставшийся срок действия опциона более выгодная его продажа или удачное исполнение маловероятны. Но такие перспективы вряд ли могут заинтересовать потенциального покупателя опциона, что в формуле Блэка–Шоулза также не учитывается.
И только при определённом значении цены базисного актива и соответствующей справедливой цене опциона , когда для владельца выгодна продажа, а для потенциального покупателя – приобретение опциона, возникают условия для взаимовыгодной сделки. Принимая во внимание случайный характер ценообразования базисного актива , приходим к выводу о том, что при продажа европейского опциона «колл» хотя и возможна, но маловероятна.
В итоге ни при , ни при торговля европейскими опционами «колл» практически невозможна. То есть при стоимости опциона, рассчитываемой по формуле Блэка–Шоулза, европейский опцион «колл» не может быть объектом купли/продажи (аналогичные рассуждения уместны и для европейского опциона «пут»).
Исходя из приведенных выше доводов, можно утверждать, что модель оценки европейских опционов Блэка–Шоулза не отражает сущность рыночного механизма купли/продажи вторичных ценных бумаг. Именно данное обстоятельство и является основной причиной необходимости критического отношения к данной модели оценки европейских опционов «колл» и «пут».
10.4. Стохастическая модель европейских опционов
Для разработки стохастических моделей европейских и американских опционов воспользуемся совокупностью допущений, которые частично совпадают или подобны допущениям модели оценки европейских опционов Блэка–Шоулза:
по базисному активу, в частности акции, в течение всего срока действия опциона дивиденды не выплачиваются;
отсутствуют транзакционные затраты, связанные с покупкой или продажей базисного актива и опциона;
продавец опциона предпочтёт инвестировать полученную премию в безрисковый или другой актив.
продажа ценных бумаг разрешается без ограничений, и при этом продавец получает немедленно всю наличную сумму за проданную ценную бумагу по текущей цене;
стоимость базисного актива является случайной величиной с усечённой нормальной плотностью распределения и точками усечения и , симметричными относительно математического ожидания стоимости базисного актива (центра рассеивания) (см. п. 7.2);
процесс случайных колебаний стоимости базисного актива (см. п. 1.1) является стационарным, т.е. математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение стоимости базисного актива неизменны во времени.
На рис. 10.6 представлены графики усечённой нормальной плотности распределения стоимости базисного актива , на оси абсцисс которой показано положение цены исполнения опциона .
а)
б)
Рис. 10.6. Усечённая нормальная плотность распределения стоимости базисного актива , разделённая ценой исполнения на две области и применительно к опционам «колл» (а) и «пут» (б)
Цена исполнения делит совокупность допустимых значений стоимости базисного актива на две области и . В области стоимость актива находится в пределах (рис. 10.6а) при этом внутренняя стоимость опциона «колл» положительна, а в области – равна нулю. В области стоимость актива находится в пределах (рис. 10.6б) при этом внутренняя стоимость опциона «пут» положительна, а в области – равна нулю.
Для разработки стохастической модели европейских опционов воспользуемся подходом, предложенным в п. 7.2.
Вероятности попадания стоимости базисного актива в области А и В в день исполнения европейского опциона.
Вероятность попадания стоимости базисного актива в область в день исполнения европейского опциона.
где – аргумент интеграла вероятностей.
Вероятность попадания стоимости базисного актива в область в день исполнения европейского опциона.
Очевидно, что для опционов «колл» и «пут» на один и тот же базисный актив с едиными ценой исполнения и датой исполнения . Следует отметить, что в действительности цена исполнения опционов «колл» и «пут» на один и тот же базисный актив, как правило, неодинакова.
Фактически вероятности и являются вероятностями успешного исполнения европейских опционов «колл» и «пут» соответственно.
Плотности распределения стоимости базисного актива в областях А и В в день исполнения европейского опциона.