Владимир Костин
Теоретические основы инвестиций в акции, облигации и стандартные опционы
Таким образом, равновесие на эффективном рынке поддерживается за счёт непрерывной адаптации средних стоимостей акций к единой средней дивидендной доходности.
Теоретически на эффективном рынке все акции должны обладать одинаковой средней дивидендной доходностью, равной . В действительности средние дивидендные доходности акций неодинаковы, хотя и должны быть достаточно близкими.
Данное обстоятельство обусловлено, во–первых, неоднозначностью прогнозов дивидендных выплат из–за отсутствия у инвесторов абсолютно надёжной информации даже о ближайших перспективах развития той или иной корпорации. Во–вторых, неоднозначна также оценка среднерыночной ставки капитализации , которая зависит от выбранного в качестве эталона фондового индекса, точности прогноза дивидендных выплат корпорациями, погрешностей, возникающих при обработке статистических данных, и т.п.
Неопределённость среднерыночной ставки капитализации и отсутствие убедительной доказательной базы того, что эта ставка должна являться общепринятым эталоном для всех без исключения инвесторов, обусловливает необходимость использования объективных способов выявления равновесия на фондовом рынке.
На примере рассмотрим один из возможных таких способов. Предположим, что в начале января 2019 г. инвестор принял решение по формированию портфеля из акций пяти российских корпораций «Газпром» «Магнит» «Сбербанк» «Лукойл» и «Новатэк» основные параметры которых сведены в табл. 9.1 (средняя дивидендная доходность акции рассчитывалась по формуле ).
Применительно к рассматриваемой группе из пяти акций среднерыночная ставка капитализации составляет .
Анализ результатов расчётов показывает, что акции корпораций «Газпром», «Сбербанк» и «Лукойл» имеют достаточно близкие средние дивидендные доходности 4,6–5,4%, примерно равные среднерыночной ставке капитализации 4,8%. Следовательно, сегмент эффективного рынка из трёх акций находится практически в равновесии.
Средняя дивидендная доходность акции корпорации «Магнит» составляет 7,6%, т.е. эта акция недооценена относительно других акций.
Средняя дивидендная доходность акции корпорации «Новатэк» составляет 1,5%. Данная акция явно переоценена.
Таким образом, в качестве среднерыночной ставки капитализации может быть использован средний уровень дивидендной доходности небольшой группы акций, средняя стоимость которых поддерживает рыночное равновесие в некотором сегменте фондового рынка.
Верхний предел стоимости акции. Если верхний предел стоимости акции для владельца не ограничен, то для покупателя готовность к приобретению акции по максимально возможной стоимости должна иметь обоснованные причины. К таким причинам относятся:
высокий рейтинг акции;
надёжный прогноз роста дивидендов и курса акции в перспективе;
формирование инвестором дивидендного портфеля акций;
стремление стратегического инвестора к росту возможностей по контролю над корпорацией;
необходимость реализации каких–либо прав (например, исполнение опциона) и т.п.
Однако верхний предел стоимости акции не может быть сколь угодно большим, так как покупатель не склонен к приобретению ценной бумаги, доходность которой ниже некоторого минимального уровня. В качестве эталона минимально возможной доходности используют менее рискованный альтернативный актив, например, безрисковый актив, банковский депозит или корпоративную облигацию инвестиционного уровня. Данные активы имеют относительно низкую доходность, но в отличие от акций обеспечивают достаточно надёжную сохранность капитала, своевременную выплату процентов и высокую ликвидность.
Приобретая дорогую акцию, инвестор осознаёт, что из–за отрицательной капитальной доходности перепродажа акции в краткосрочной перспективе вероятнее всего убыточна и поэтому нецелесообразна, а дивидендная доходность составляет
где – верхний предел стоимости акции.
Приобретение акции по предельно высокой стоимости имеет смысл, если дивидендная доходность акции превышает доходность альтернативного актива (т.е. ), тогда
Верхний предел стоимости акции является ориентиром для инвесторов при выявлении переоцененных акций. Следует отметить, что достижение стоимости акции верхнего предела относится к маловероятному событию, но в исключительных случаях может возникнуть ажиотажный спрос на акцию и её стоимость превысит даже . Кроме того, по относительно высокой стоимости могут предлагаться акции с высочайшим рейтингом.
Максимальная стоимость акции, а точнее стоимость, близкая к максимальной, не превышает верхний предел стоимости акции (т.е. ) и многократно наблюдается между датами выплат дивидендов (см., например, рис. 7.6). Последняя закономерность свидетельствует об уверенности инвесторов в возврате потраченных денежных средств, если это потребуется.
В [1] отмечается, что перед выплатой дивидендов наблюдается рост стоимости акции. Это объясняется вполне понятным желанием владельца акции компенсировать потерю дивидендов за счёт капитального дохода. Поэтому при средней стоимости прирост стоимости акции должен быть равным уровню дивидендов . В этом случае владелец акции компенсирует потерю причитающихся ему дивидендов за счёт капитального дохода, равного , и фактически продаёт акцию по справедливой цене . Покупатель, заплатив за акцию сумму , после получения дивидендов фактически приобретает акцию также по справедливой цене .
Следовательно, при стоимости акции перед выплатой дивидендов в равной степени обеспечивается соблюдение финансовых интересов, как владельца, так и покупателя акции. Учитывая данное обстоятельство, инвестор может быть уверенным, что, приобретая акцию по цене не более , в дальнейшем имеется возможность перепродажи акции по этой же цене, то есть инвестор может возвратить потраченные денежные средства. При большей стоимости акции возможная перепродажа акции приведёт к неизбежным финансовым потерям, поэтому максимальная стоимость акции составляет
При максимальной стоимости акции её дивидендная доходность минимальна и может быть рассчитана по формуле
Анализ данных, приведенных в табл. 9.1, показывает, что реальные максимальные стоимости акций корпораций «Газпром», «Магнит», «Сбербанк», «Лукойл» и «Новатэк» и рассчитанные по формуле (7.22) отличаются не более чем на 0,2–5,7%.
Нижний предел стоимости акции. Если покупатель заинтересован в приобретении акции по минимальной стоимости, то готовность владельца к продаже акции по низкому курсу должна иметь обоснованные причины. К таким причинам относятся:
срочность продажи из–за нехватки денежных средств;
надёжный прогноз падения курса акции в ближайшей перспективе;
высокая вероятность банкротства эмитента акции;
целесообразность реинвестирования денежных средств в более надёжный или доходный актив;
необходимость реализации каких–либо прав (например, исполнение опциона) и т.п.
Очевидно, что из–за низкой стоимости акция является высокодоходной. В качестве «грубого» эталона максимально возможной доходности акции можно использовать кредитную ставку . Действительно, теоретически при превышении доходности акции выше кредитной ставки возникает возможность неограниченного повышения благосостояния инвестора за счёт заёмных средств. Таким образом, нижний предел стоимости акции определяется как
В исключительном случае, когда владелец стремится любой ценой избавиться от акции с ухудшающимся рейтингом, её стоимость будет зависеть от панических настроений на фондовом рынке и может снизиться до предельно минимального уровня. При угрозе банкротства корпорации стоимость акции может упасть до нуля.
Минимальная стоимость акции в действительности всегда превышает нижний предел стоимости акции (т.е. ) и многократно наблюдается между датами выплат дивидендов (см., например, рис. 7.6).
При определении минимальной стоимости акции следует обратить внимание на симметрию точек усечения относительно среднего значения стоимости акции (см. рис. 7.4). Тогда, учитывая зависимость , получаем соотношение для расчёта минимальной стоимости акции
При минимальной стоимости акции её дивидендная доходность максимальна и может быть рассчитана по формуле
Для сравнения: реальные минимальные стоимости акций корпораций «Газпром», «Магнит», «Сбербанк», «Лукойл» и «Новатэк» (см. табл. 9.1) и рассчитанные по формуле (7.23) отличаются не более чем на 0,3–6,4%.
Анализ полученных результатов показывает, что на эффективном рынке «нормальная прибыль» находится в пределах от до .
Для оценки минимальной стоимости акции можно воспользоваться и другим подходом. Предположим, что рейтинг акции достаточно высок, но её текущая стоимость минимальна (), а владельцу необходимо немедленно продать эту акцию с целью ликвидации задолженности. В качестве альтернативы владельцу желательно перенести продажу акции на более поздний срок и воспользоваться заёмными денежными средствами, сумма которых составляет . Такой приём позволяет владельцу отсрочить невыгодную сделку и попытаться продать акцию по более высокому курсу. При средней стоимости акции средний доход после её продажи и погашения тела кредита составит . В наиболее неблагоприятном для владельца случае этот доход будет полностью использован для погашения процентов по кредиту
Следовательно, минимальная стоимость определяется как
Анализ данных, приведенных в табл. 9.1, показывает, что при кредитной ставке реальные минимальные стоимости акций корпораций «Газпром», «Магнит», «Сбербанк», «Лукойл» и «Новатэк» и рассчитанные по формуле (7.24) отличаются не более чем на 3,4–6,8%.
Таким образом, оценка минимальной стоимости акции по формулам (7.23) и (7.24) создаёт для владельца предпосылки по предупреждению неоправданных финансовых потерь.
Ценообразование продаваемой акции. Колебания курса акции в интервале от минимальной до максимальной стоимости позволяют инвесторам при благоприятных условиях извлечь капитальный доход. Для удачной продажи владелец непрерывно отслеживает текущий курс акции и принимает то или иное решение в зависимости от уровня ожидаемого капитального дохода.
Предположим, что акция была приобретена по цене , её текущий курс составляет , количество дней до даты выплаты дивидендов равно . Владелец может продать акцию с целью получения капитального дохода или же дождаться даты выплаты дивидендов и получить доход в размере . Очевидно, что продажа акции выгодна, если капитальный доход окажется выше дивидендного дохода, т.е. . Однако с целью увеличения дохода взамен проданной акции инвестор, как правило, предполагает приобрести другой (альтернативный) актив с годовой доходностью . За промежуток времени с момента продажи акции до даты выплаты дивидендов за счёт реинвестированных денежных средств будет получен дополнительный доход в размере . Тогда экономическая целесообразность продажи акции будет определяться неравенством
Анализ данного соотношения показывает, что, во–первых, при отрицательном капитальном доходе продажа акции возможна, но вероятнее всего нецелесообразна. Например, при продажа акции может быть оправдана, если вырученные денежные средства будут реинвестированы в явно недооцененный, т.е. высокодоходный актив.
Во–вторых, при относительно высоком капитальном доходе продажа акции не только выгодна, но и позволяет инвестору уклониться от рисков, присущих инвестициям в акции.
В–третьих, при из–за низкого уровня капитального дохода продажа акции должна сопровождаться обязательным реинвестированием полученных денежных средств в другой актив, например, в какую–либо акцию, безрисковый актив, облигацию или банковский депозит.
Из неравенства (7.25) получаем соотношение для определения курса акции, при котором экономически целесообразна её продажа
Таким образом, ценообразование продаваемой акции определяется не только уровнем капитального дохода, но и эффективностью реинвестированных денежных средств.
Ценообразование приобретаемой акции. Предварительный отбор акций, которые могут представлять интерес для инвестора, осуществляется на основе фундаментального анализа инвестиционных качеств ценных бумаг. После формирования «одобренного списка» инвестор следует классическому правилу, которое гласит: купи акцию по низкой цене и продай её по высокой цене.
Такое правило характерно, прежде всего, для спекулянта, ориентирующегося на извлечение капитального дохода. Успешная деятельность спекулянта на фондовом рынке зависит от его способностей по правильному выбору акции и интуитивного предвидения направленности изменений её курса. Для спекулятивных операций наиболее привлекательными являются акции с высокой средней доходностью и наибольшим размахом колебаний курса, т.е. с наибольшим значением разности .
Инвестор, ориентированный на долговременное владение портфелем акций, также заинтересован в приобретении акций по низким ценам. Однако из–за неопределённости уровня будущих дивидендных выплат низкая цена не является гарантом высокой доходности акции. Поэтому на эффективном рынке инвестор вынужден вести поиск подходящих активов для инвестиций в условиях неопределённости среди практически равноценных по дивидендной доходности акций. В этих условиях интуиция и опыт инвестора играют определяющую роль.
Таким образом, ценообразование приобретаемой акции на эффективном рынке зависит в основном от субъективных предпочтений инвестора. Данное обстоятельство обусловливает необходимость разработки критериев и математического аппарата для выявления равноценных, недооцененных и переоцененных акций, что позволит инвестору принимать объективные решения.
8. РАВНОЦЕННЫЕ АКТИВЫ
8.1. Критерии сопоставления активов
Ключевым элементом инвестиционного процесса является сопоставление инвестиционных качеств финансовых активов. В портфельной теории Г.Марковица–У.Шарпа сравнение активов осуществляется с использованием двух параметров – математического ожидания и среднего квадратического отклонения доходности (см. п. 4.1).
Активы с одинаковыми МО и СКО доходностей являются равноценными, поскольку инвестору безразлично в какой конкретный актив осуществлять вложения денежных средств.
Если у активов один из параметров одинаков, процесс сопоставления не представляет затруднений. Например, при одинаковых СКО доходностей в качестве критерия сопоставления выступает МО доходности, а при одинаковых МО доходностей – СКО доходности.
В общем же случае у активов оба параметра неодинаковы и процесс их сопоставления усложняется. Это обусловлено тем, что в данном случае в качестве критерия сопоставления не могут быть использованы ни МО доходности, ни СКО доходности активов. При неопределённости критерия сопоставления понятия равноценные, недооцененные или переоцененные активы лишены разумного содержания.
Анализ результатов исследований в п.п. 7.1 и 7.2 показывает, что в качестве критериев сопоставления рискованных активов могут служить некоторые параметры нормального и усечённого нормального распределений дохода актива. Основным требованием к критерию сопоставления является функциональная зависимость, как от МО доходности , так и от СКО доходности актива . Для определённости назовём такой критерий «комплексным критерием сопоставления активов ». Такой приём обеспечивает «свёртку» двух потенциальных критериев сопоставления активов и в один комплексный критерий . Например, в качестве комплексного критерия сопоставления может быть использован коэффициент вариации доходности [4], вероятность отрицательной доходности [1, 4], вероятность превышения доходности некоторого установленного уровня и т.п. Выбор конкретного комплексного критерия сопоставления зависит от предпочтений инвестора.
В соответствии с принятым комплексным критерием сопоставления два актива и равноценны, если выполняется равенство
где и – математические ожидания доходностей активов и соответственно; и – средние квадратические отклонения доходностей активов и соответственно.
При фиксированном значении комплексного критерия сопоставления аналитическая зависимость представляет собой уравнение равноценных активов по уровню комплексного критерия сопоставления . Эта же зависимость, представленная в виде графика, является линией равноценных активов, которая в [1] названа кривой безразличия (см. п. 1.6).
Уравнение равноценных активов удобно использовать как инструмент выявления недооцененных и переоцененных активов. Например, актив недооценен, если при выполняется неравенство . Если же , то актив переоценен.
Таким образом, уравнение равноценных активов может быть использовано для сопоставления инвестиционных качеств портфелей активов и отдельных ценных бумаг.
В последующих материалах предлагаются технологии выявления равноценных активов по нескольким возможным комплексным критериям сопоставления, которые основаны на использовании параметров нормального и усечённого нормального распределений дохода актива.
8.2. Равноценные активы по уровню вероятности отрицательной доходности
В качестве комплексного критерия сопоставления активов в портфельной теории Г.Марковица–У.Шарпа используют вероятность отрицательной доходности (см. п. 1.3), т.е. . Именно с использованием данного критерия [1, с.171] в портфельной теории сформулирован некорректный вывод о том, что актив с меньшим значением СКО доходности является менее рискованным и СКО доходности может служить в качестве меры риска.
Два актива и равноценны по уровням вероятностей отрицательной и положительной доходности, если выполняются равенства
где и – случайные значения доходов активов и соответственно; и – цены покупки активов и соответственно; и – минимальное и максимальное возможные значения величины дохода актива соответственно; и – минимальное и максимальное возможные значения величины дохода актива соответственно.
Очевидно, что при равенстве вероятностей отрицательной доходности активов и «автоматически» соблюдается и равенство вероятностей положительной доходности этих активов.
Выявление равноценных активов по уровню отрицательной доходности может быть осуществлено графическим методом, как поясняется на рис. 1.1.
Для решения этой же задачи численными методами воспользуемся соотношениями (7.14) и (7.15) и преобразуем условие равноценности активов по уровню вероятности отрицательной доходности к виду
где и – аргументы интеграла вероятностей для активов и соответственно.
Таким образом, в общем случае равноценными по вероятности отрицательной доходности является совокупность активов с равными значениями отношений
При фиксированном значении вероятности отрицательной доходности (или фиксированном аргументе интеграла вероятностей ) зависимость представляет собой линейное уравнение равноценных активов по уровню вероятности отрицательной доходности. Например, при и фиксированном значении вероятности отрицательной доходности интеграл вероятностей должен быть равным , что соответствует . Следовательно, равноценные активы располагаются на прямой, уравнение которой имеет вид .
В частном случае при нормальной плотности распределения доходов справедливо равенство . Тогда равноценными по уровню вероятности отрицательной доходности являются активы с одинаковыми значениями интегралов вероятностей , т.е. с равными аргументами интегралов вероятностей . Таким образом, при условие равноценности активов по уровню вероятности отрицательной доходности достигается при . При фиксированном значении вероятности отрицательной доходности (или фиксированном аргументе интеграла вероятностей ) зависимость представляет собой линейное уравнение равноценных активов по уровню вероятности отрицательной доходности.
На рис. 8.1 представлены графики зависимости , рассчитанные для нескольких значений вероятности отрицательной доходности применительно к нормальной плотности распределения доходов.
Рис. 8.1. Линии равноценных активов по уровню вероятности отрицательной доходности применительно к нормальной плотности распределения доходов
Анализ рис. 8.1 показывает, что совокупность линий равноценных активов исходит из начала координат. Однако активов с параметрами и не существует, поэтому начало координат не является частью линии равноценных активов, а понятие равноценности не существующих активов с реальными активами лишено смысла.
Аргумент интеграла вероятностей является не чем иным как тангенсом угла наклона линии равноценных активов к оси абсцисс, причём, чем больше угол наклона, тем меньше вероятность отрицательной доходности . Данное свойство может быть использовано для выявления из достижимого множества портфеля с минимальным значением вероятности отрицательной доходности. На рис. 8.2 представлено достижимое множество портфелей (заимствованное из рис. 1.5) и линия равноценных активов по уровню вероятности отрицательной доходности, которая является касательной в точке к эффективному множеству .
Рис. 8.2. Линия равноценных активов по уровню вероятности отрицательной доходности , как касательная в точке к эффективному множеству
В результате расчётов установлено, что касательный портфель обладает минимальным значением вероятности отрицательной доходности из достижимого множества . Действительно, линия равноценных активов при большем угле наклона к оси абсцисс не может иметь общих точек с достижимом множеством, а при меньшем – . Касательный портфель с минимальным значением вероятности отрицательной доходности может представлять интерес для осторожного инвестора.
Вероятность отрицательной доходности может быть использована и как комплексный критерий сопоставления двух активов и когда один из них является эталоном (или ориентиром).
При нормальном распределении дохода , выражение (8.1) преобразуется к виду
где и – коэффициенты вариации доходностей активов и соответственно.
Очевидно, что это равенство выполняется, если коэффициенты вариации доходностей активов и равны
Представляет интерес преобразовать данное равенство к виду
Необходимо отметить, что для положительных значений МО доходностей активов и выражение (8.2) позволяет выявить равноценные активы по уровню МО дохода, для отрицательных – по уровню МО потерь.
Таким образом, МО доходности актива , равноценного с эталонным активом по уровню вероятности отрицательной доходности, имеет линейную зависимость от СКО доходности с коэффициентом пропорциональности .
Рассмотрим особенности рассмотренного критерия равноценности активов на примере, который обсуждается в п. 1.4. Пусть два сопоставляемых портфеля ценных бумаг и имеют параметры, которые сведены в табл. 8.1. МО и СКО доходностей портфелей и различны, но целенаправленно подобраны таким образом, чтобы их коэффициенты вариации и вероятности отрицательной доходности были равными.
Таблица 8.1
Параметры сопоставляемых портфелей и
Портфель
Исходные параметры
портфеля
Результаты
расчётов
тыс.
долл.
тыс.
долл.
тыс.
долл.
%
А
108
10
100
8
0,1
1,25
0,21
В
112
20
96
16,7
0,208
1,25
0,21
При этом, судя по равным значениям коэффициентов вариации и, как следствие , портфели , и , являются равноценными по уровню вероятности отрицательной доходности.
Характерной особенностью рассмотренного критерия является то, что сопоставление безрискового актива с рискованным активом по уровню вероятности отрицательной доходности не представляется возможным. Действительно, если в качестве эталона используется безрисковый актив (), то согласно соотношению 8.2 доходность равноценного рискованного актива не определённа. Кроме того, вероятность отрицательной доходности безрискового актива всегда равна нулю, а вероятность отрицательной доходности рискованного актива находится в пределах от нуля до единицы.
8.3. Равноценные активы по уровню вероятности пониженной доходности относительно безрисковой ставки
Инвестиционный риск, обусловленный финансовыми потерями в области отрицательной доходности, является очевидным негативным фактором инвестиций в рискованный актив. Однако и часть области положительной доходности, в которой доходность рискованного актива ниже доходности безрискового актива , также относится к негативному фактору инвестиций в рискованный актив. Поэтому для инвестора, несомненно, полезна информация об уровне вероятности пониженной и повышенной доходности рискованного актива относительно безрисковой ставки. Такая информация позволяет сопоставлять рискованные активы на объективной основе.
Если стоимость рискованного актива равна , то доходности рискованного и безрискового активов будут равными при уровне дохода
Следовательно, область отрицательной доходности в совокупности с частью области положительной доходности (или в целом область ) является областью пониженной доходности рискованного актива по отношению к безрисковой ставке, поскольку в данной области .
Для области характерна повышенная доходность рискованного актива по отношению к безрисковой ставке, поскольку в данной области .
Для наглядности области пониженной и повышенной доходности рискованного актива по отношению к безрисковой ставке представлены на рис. 8.3.
Рис. 8.3. Области пониженной и повышенной доходности рискованного актива по отношению к безрисковой ставке
По аналогии с п. 8.2 в качестве комплексного критерия сопоставления активов воспользуемся вероятностью пониженной доходности относительно безрисковой ставки .
Используя результаты, полученные в п.п. 7.1 и 7.2 определим вероятности пониженной и повышенной доходности рискованного актива относительно безрисковой ставки.
Вероятность пониженной доходности рискованного актива рассчитывается по формуле
где .
Вероятность повышенной доходности рискованного актива определяется как
Учитывая соотношение (8.3), представим аргумент интеграла вероятностей в виде
Два актива и равноценны по уровню вероятности пониженной доходности, а, следовательно, и по уровню вероятности повышенной доходности, если выполняются условия
где и – значения доходов, при которых доходности рискованных активов и соответственно равны безрисковой ставке .
Очевидно, что при равенстве вероятностей пониженной доходности активов и «автоматически» соблюдается и равенство вероятностей повышенной доходности этих активов.
Учитывая соотношения (8.4) и (8.5) получаем условие выполнения данных равенств
где и – аргументы интегралов вероятностей для активов и соответственно.
Таким образом, приходим к выводу, что в общем случае равноценными по вероятности пониженной и повышенной доходности является совокупность активов с равными значениями отношений
При фиксированном значении вероятности пониженной доходности по аналогии с п. 8.2 можно доказать, что равноценные активы располагаются на прямой, уравнение которой имеет вид .
В дальнейшем для определённости будем полагать, что плотности распределения доходов сопоставляемых активов соответствуют нормальному распределению, и, как следствие, для этих активов , а также . В этом случае равноценными по уровню вероятности пониженной и повышенной доходности являются активы с одинаковыми значениями аргумента интеграла вероятностей .
При фиксированном значении вероятности пониженной доходности и, следовательно, при фиксированном значении аргумента интеграла вероятностей , зависимость представляет собой линейное уравнение равноценных активов по уровню вероятности пониженной доходности. На рис. 8.4 представлены графики зависимости , рассчитанные для нескольких значений вероятности пониженной доходности для безрисковой ставки .
Рис. 8.4. Линии равноценных активов по уровню вероятности пониженной доходности для безрисковой ставки
Анализ рис. 8.4 показывает, что совокупность линий равноценных активов исходит из точки, соответствующей безрисковому активу с параметрами и . Вероятность пониженной доходности безрискового актива всегда равна нулю, поэтому безрисковый актив не может быть равноценным любому рискованному активу, а точка с координатами не является частью линии равноценных активов.
Аргумент интеграла вероятностей является не чем иным как тангенсом угла наклона линии равноценных активов к оси абсцисс, причём, чем больше угол наклона, тем меньше вероятность доходности . Данное свойство может быть использовано для выявления портфеля с минимальным значением вероятности пониженной доходности актива из достижимого множества. На рис. 8.5 представлено достижимое множество портфелей (заимствованное из рис. 1.5) и линия равноценных активов по уровню вероятности пониженной доходности, которая является касательной в точке к эффективному множеству для безрисковой ставки .
Рис. 8.5. Линия равноценных активов по уровню вероятности пониженной доходности , как касательная в точке к достижимому множеству портфелей для безрисковой ставки
В результате расчётов установлено, что касательный портфель , обладает минимальным значением вероятности пониженной доходности актива из достижимого множества . Действительно, линия равноценных активов при большем угле наклона к оси абсцисс не может иметь общих точек с достижимом множеством, а при меньшем – . Касательный портфель с минимальным значением вероятности пониженной доходности относительно безрисковой ставки может представлять интерес для осторожного инвестора.
Вероятность пониженной доходности может быть использована и как комплексный критерий сопоставления двух активов и , когда один из них является эталоном.
При нормальном распределении дохода , формула (8.6) преобразуется к виду
Очевидно, что это выражение справедливо при равенстве аргументов интеграла вероятностей
После преобразований данного равенства получаем уравнение
Данное уравнение и уравнение линии рынка капитала (3.1) модели САРМ формально идентичны. Принципиальное их отличие состоит, как в технологии вывода, так и в трактовке инвестиционных качеств рискованных активов, которые описываются данными уравнениями. Если в модели САРМ уравнение (8.7) позволяет определить доходность «оптимального» портфеля, содержащего безрисковый и рискованные активы (см. п. 1.5), то в данном случае это же уравнение характеризует совокупность равноценных активов по уровню вероятности пониженной (повышенной) доходности относительно безрисковой ставки.
Таким образом, МО доходности актива , равноценного с активом по уровню вероятности пониженной доходности, имеет линейную зависимость от СКО доходности этого актива с коэффициентом пропорциональности и свободным членом, равным безрисковой ставке .
Рассмотрим особенности рассмотренного критерия применительно к портфелям и , параметры которых приведены в табл. 8.1. Учитывая, что эти портфели равноценны по вероятности отрицательной доходности, сравним их инвестиционные качества по вероятности пониженной доходности для случая и безрисковой ставки . Исходные параметры и результаты расчётов сведены в табл. 8.2.