Екатерина Кукина
Века сквозь математику, или Как математики раз за разом мир вертели
12.1
Философия Декарта
Философия Декарта – штука, конечно, очень-очень сложная, но настолько важная в культурно-философском плане, что даже дошла до мемов в интернете. Я мыслю, следовательно, я существую. Cogito ergo sum.
Я читаю книгу – следовательно, я существую. Ну, логично, ведь несуществующая личность не может читать книгу! Я пью кофе – следовательно, я существую. Так? Смысловая конструкция такая же?
Нет!
Рисунок 12.4: Пьер-Луи Дюмениль. "Диспут Декарта и королевы Кристины". Фрагмент картины.
В философии Декарт, как и во всем, во главу угла поставил принцип ясности. Все должно быть ясно. И какие же есть принципы, на которые мы можем опереться? Какие есть вещи, самоочевидные?
В XVII веке становится популярна такая идея: "А не сон ли все вокруг?" Как вы можете быть убеждены, что книга, которую вы вот прямо сейчас читаете, существует? А может ее нет, а она вам только снится? Века 18 и 19 были намного более рациональны в этом смысле, никто не ставил себе вопрос: "а есть ли мир вокруг?". А вот к середине ХХ века у нас снова появляется это сомнение: в кино, в литературе, в философии. Поэтому оно не кажется нам непонятным (мы можем ставить себе этот вопрос или не ставить; можем верить в существование объективного мира вокруг нас или не верить; но мы понимаем этот вопрос). Как мы можем быть уверены, что мир вокруг не порождение нашего разума? А кто я сам? Может быть, мыслящий осьминог или искусственный интеллект, возомнивший себя человеком? И вообще, существую ли я?
Так вот, фраза Декарта "Я мыслю, следовательно, я существую" – это не простенькое упражнение в логике, это строгое доказательство своего существования. Если я мыслю – значит, в каком-то виде я существую. Может быть, я коллективный разум колонии крабов, может быть, я ChatGPT, ищущий свою индивидуальность. Но я точно есть, потому что кто-то же мыслит. Если только мелькает сомнение в существовании – это уже мысль! и значит, я уже существую.
Я могу не читать книгу. Я могу не пить кофе (но это не точно). Так мое существование не докажешь. Но я не могу не мыслить. А раз мыслю – значит, я есть.
По-моему, это гениально. И очень ясно, почему же я существую.
Ну, и дальше мы имеем одну уже доказанную теорему. И можем выводить все новые и новые.33
12.2
Геометрия Декарта
Чем же более всего знаменит Декарт в математике? Пожалуй, декартовыми координатами, созданием аналитической геометрии.
До XVI века включительно математика развивалась очень неоднородно. Геометрия была на очень высоком уровне. Были доказаны мириады очень сложных теорем (многие из которых потом были забыты и доказаны снова). Что же тут не устраивает Декарта? У геометрии почти нет методов. Почти каждая задача требует индивидуального подхода. Так много задач не нарешаешь. Ну, и вообще: нет никакой ясности, как же подступаться к геометрическим задачам? Как придумывать новые?
Алгебра до середины XVI века была ужасна. Тоже совершенно неясна! Алгебра без алгебраических обозначений? Это мрак. Но в алгебре как будто есть методы. Но … в алгебре больше ничего нет. А кроме того, алгебра не наглядна, в ней очень сложно следить за мыслью и за рассуждениями. Приходится постоянно помнить весь объем предыдущих вычислений. И вот, Декарт соединяет алгебру с геометрией. Все геометрические картинки теперь можно описать числами и уравнениями. (А дальше с ними работать). Но верно и обратное. Никто про это не задумывается, но теперь и задачи аналитические (не геометрические) можно снабдить картинками. Яркий пример – графики функций. До Декарта такого понятия не существовало. Про функции (т.е. зависимость какой-то одной величины от другой) математики уже знали, а графики? Графиков не было. А ведь графики – это 99% успеха, без них никакой мат.анализ (который уже в послеследующей главе появится в нашей книге) понять и тем более развивать было бы невозможно!
Ну, и вот это все придумал Декарт. Он визуализировал аналитические задачи, и он же алгебраизировал геометрию. Свел ее к (возможно, скучному) но имеющему метод набору уравнений и формул. И все это – опять же для того, чтобы придать ясности и Алгебре, и Геометрии. Ясность нужна во всем!
И да, конечно же, с помощью своего метода, для пущей ясности, он показал, как можно доказывать задачи, которые раньше никто не решал. (Ну, например, он решил задачу Паппа. Из античности было известно следующее: вот есть две прямые. Где находятся точки, которые на одинаковом расстоянии от первой и от второй прямой? Это известно со времен Евклида точно, а то и раньше. А дальше еще древнегреческий математик Папп придумал обобщение. Вот есть четыре прямых (первая, вторая, третья и четвертая). Вычислим от точки сумму расстояний до первых двух и второе число – сумма расстояний до вторых двух. Где находятся точки, что эти две суммы совпадают? Декарт решил эту задачу с помощью метода координат).
Этот метод, который связывает алгебру и геометрию, придает математике целостность – целиком заслуга Декарта. Именно поэтому я и пишу в начале главы, что с Декарта начинается современное понимание математики как науки. Раньше можно было думать, что это две разных науки: алгебра и геометрия (а то и не две, а больше). Но после Декарта очевидно, что математика – одна на всех, единственная, связная, целостная.
Лекция 13
.
Блез Паскаль
Помните Декарта? Декарт для того, чтобы разобраться в проблеме, должен был долго и без помех обдумывать ее со всех сторон. Именно отсюда его длительные "уединения". Но именно отсюда же у него такие невероятно глубокие результаты из, казалось бы, банальной идеи тождественности числа и точки. Главные результаты жизни у Декарта появляются ближе к зрелому возрасту. Потому что идеи надо хорошенько обдумать.
Рисунок 13.1: Блез Паскаль. 1623–1662
Паскаль обладает кардинально другим стилем мышления. Ему не интересно систематизировать, составлять каталоги и добиваться предельной незамутненной ясности до последней точки. Мышление Паскаля взрывоподобно. Он выдумывает одну идею. Предельно понятную, когда она уже озвучена, но как до нее догадаться? Никак! И все, у него рождается новая теорема, новая теория, новая отрасль математики или физики. Такая идея не плод кропотливого труда, а плод чего-то бессознательного. Такая идея приходит в голову одному на миллиард – и оказывается гениальной. Вот именно таким и был Паскаль.
Паскаль – физик и математик. Да? Да. Но кроме того, внезапно для математиков, и вовсе не внезапно для филологов, Паскаль – классический французский писатель. Например, Пикассо считал Паскаля одним из своих любимых авторов, наравне с Достоевским, Сервантесом и Мольером.
А еще Паскаль изобрел общественный транспорт. Вот как ездили люди раньше? Были люди богатые. Они передвигались или верхом, или на карете. Были торговцы, которые возили груз на телеге. В принципе, теоретически, можно было на эту же телегу попроситься и доехать автостопом из одного места в другое. Но обычно небогатые люди ходили везде пешком. Например, поэтому не могли доехать из одного города в другой. Если надо было Ломоносову попасть в Москву – это только с торговым обозом, пешком. Одинокому путнику идти на тысячу километров? Смерти подобно.
Паскаль на все это дело посмотрел-посмотрел, и понял, что нужны большие кареты. Кареты эти будут без роскошеств и излишеств, но крепкие и на увеличенной базе. Принадлежать они будут муниципалитету, будут установленные маршруты. И несколько остановок вдоль этих маршрутов. До остановок уже не так трудно дойти пешком. Паскаль придумал эскиз этих увеличенных карет, омнибусов, высчитал, сколько будет нужно тратить на амортизацию, на водителя, на прочие расходы – получил стоимость проездного билета (то есть, составил полный бизнес-план мероприятия). Пришел с этим прожектом в Парижскую мэрию, предложил – и проект претворили в жизнь! Первая поездка на общественном транспорте состоялась 18 марта 1662 года от предместья Парижа в его центр. Ну, а теперь общественный транспорт – это основа жизни больших городов и нашего общества. Представить себе жизнь без общественного транспорта невозможно. Например, университет, в котором я проработала 20 лет, находился на расстоянии 12 километров от моего дома. И это очень близко по меркам современной городской жизни. Но это невозможно себе представить в старые времена, без общественного транспорта. 5 часов в день тратить на дорогу? Невозможно!
Паскаль изобрел первый в мире арифмометр, то есть механический аппарат для выполнения арифметических действий. Первый скромный шаг к появлению сегодняшних компьютеров, смартфонов и микроволновок.
Арифмометр Паскаль изобрел в 19 лет. Его отец, юрист, должен был отвечать за бухгалтерию в Руане (считать налоги, пошлины, и прочее-прочее). Паскаль помогал ему в его вычислениях – и ему пришло в голову сделать для этого дела машину. Он изобрел механизм, который будет делать перенос единицы в следующий разряд. А кроме того, полностью собрал не только первый прототип, но довольно много арифмометров. Их и до настоящего времени в разных музеях сохранилось порядком34.
Первые открытия в физике Паскаль начал делать в 10 лет. Но про его физические открытия вообще можно говорить бесконечно (и рекомендую по этому поводу книжку [40] – там много про Паскаля, про его биографию, намного подробнее, чем у меня, и интересно про его научные открытия).
А что с первыми открытиями в математике? Отец нашего героя Блеза Паскаля, Этьен Паскаль, был по профессии юристом, и человеком всесторонне образованным. В частности, он посещал семинар Марена Мерсенна, был знаком с Декартом, сам увлекался математикой (и даже сделал несколько математических открытий. Кривая "Улитка Паскаля" названа так в честь Паскаля-отца, Этьена). Мать Паскаля умерла, рожая его сестру, когда Паскаль был совсем еще малышом. Сам Паскаль был очень хрупок здоровьем. Поэтому отец решил учить его всему дома, не отдавать в школу.
Иезуитские школы, где центральной идеей была комфортность для ученика, (помните, Декарта в колледже не заставляли вставать к первому уроку никогда?) – не нравились Паскалю-отцу. Он считал, что в образовании должен быть более строгий подход, а от ученика надо ждать максимального усердия и напряжения. Отец сам разработал программу для Блеза. Начиналось все с основ естествознания, истории, и некоторого курса типа "сравнительного языкознания". Уже потом, после "сравнительного языкознания" предполагалось изучение иностранных языков, и еще позже, лет с 15-16 (как считал Паскаль-отец) можно приступать к изучению математики. Книжные шкафы с книгами по математике Этьен держал 
запертыми, он полагал, что математика может пагубно сказаться на несформировавшемся уме.
Однако, все пошло не по плану. Однажды (Блез был уже подростком, ему было лет 12), Паскаль-отец без предупреждения зашел в комнату сына и застал его за запретным занятием. Блез занимался математикой! Поскольку научные книги были заперты на ключ, он даже терминологии принятой не знал. Круг называл колесом, прямую – палкой. Однако при этом уже сам передоказал некоторые теоремы. Например, теорему о сумме углов треугольника (поверьте, это далеко не тривиальный факт!) Он рисовал на полу (мелом или углем) чертежи, а потом их тщательно стирал.
Надо отдать должное Паскалю-отцу. С этого момента он перестал запрещать сыну заниматься математикой. С 13 лет брал сына с собой на семинар Мерсенна. А в 1640 году выходит первая научная работа Паскаля (ему всего 16 лет) под названием "Опыт о конических сечениях", содержащая теорему, которую мы сейчас так и знаем под названием Теорема Паскаля – теорема о шестиугольнике, вписанном в произвольную конику35
К тому моменту Декарт уже опубликовал свою «Геометрию» и весь научный мир носился с идеями аналитической геометрии. Однако же, Паскаль в своей работе ее не использует, а использует другие идеи (близкие к Теореме Дезарга). Дезарг, блестящий и остроумный геометр, был не столько математиком, сколько инженером и архитектором. Но, как ни странно, именно он пользовался для доказательства своих геометрических теорем оригинальными геометрическими приемами, а не вычислениями с помощью метода координат (чуть позже из этих приемов Дезарга возникнет отдельная область геометрии – проективная геометрия). Короче говоря, именно работы Дезарга оказали влияние на работы молодого Паскаля, а не работы Декарта. И кстати, наоборот: уже маститый ученый Дезарг не раз восторженно отзывался об этой, первой, научной работе Паскаля.
А вот Декарт повел себя в этой ситуации странно. Несмотря на ажиотаж вокруг новой блестящей теоремы, он не пришел на доклад, и работу не одобрял. Он думал и делал намеки, что не юный Паскаль изобрел новую теорему, а его отец. Он не верил, что будучи столь юным человеком, можно придумать столь блестящую теорему. А кроме того, он ясно заявлял: "Ну, да, новая теорема – это хорошо. Но в этой работе не чувствуется нового метода. Не чувствуется общего подхода! Нет никакой ясности". Действительно, факт, доказанный Паскалем, практически невозможно доказывать методами аналитической геометрии. Подход, такой общий, такой всеобъемлющий, предложенный Декартом, дал трещину (и внес полную неясность)!
В своих дальнейших работах Паскаль часто писал: "В моей работе нет ясности, но к ней я и не стремлюсь" – явно, его задело отношение Декарта, на тот момент уже именитого ученого, пожалуй, математика номер 1 во всей Европе. Нет, Декарт больше не проявлял неуважения к Паскалю. Но Паскаль, который всю жизнь писал много философских трудов, явно задетый этим первым знакомством с великим Декартом, очень много в своей философии уделял внимания уходу от декартизмов, неявной (или явной) полемике с Декартом.
Просто случилось то, о чем мы говорили в самом начале. Столкнулись два научных темперамента. Декарт, изобретающий что-то долго и методично. И Паскаль – с его взрывоподобными вспышками гениальности, но без видимого труда со стороны, без какой-либо методичности. Декарту было трудно поверить, что без методичности можно достигнуть хороших результатов.
В 24 года здоровье Паскаля сильно ухудшается. Врач предписывает Паскалю не перенапрягаться, побольше общаться и (представьте себе) вести светскую жизнь. И действительно, семья снова переезжает в Париж (из Руана, где они прожили 7 лет и где Паскаль изобрел арифмометр). В Париже Паскаль становится завсегдатаем салонов, несколько раз посещает двор, играет в азартные игры (в которые до тех пор не особенно играл) – короче, все как доктор прописал.
И там он знакомится с неким кавалером де Маре, чье имя вошло в историю математики, хотя по факту сам он математиком не был. Обычный праздный господин, де Маре занимался ничем и интересовался всем. В том числе, он же подошел к Паскалю с вопросом, который впоследствии известен всем математикам как «Первая задача де Маре»: сколько раз надо кинуть две игральные кости, чтобы вероятность того,
что хотя бы один раз выпадут "глаза змеи" (пара из двух единичек) была больше вероятности того, что они не выпадут ни разу?
Де Маре задачу, вроде, решил, даже несколькими способами. Но у него каждый раз получался разный ответ.
Паскаль задачу решил (Паскаль, конечно, решил ее правильно). По поводу этой задачи у него возникает переписка с еще одним великим математиком-современником, Пьером Ферма. Именно в этой переписке, как считается, закладываются основы будущей математической науки, теории вероятностей.
«Вторая задача де Маре» сложнее и интереснее (ее Паскаль с Ферма обсуждали дольше первой). Предположим, происходит игра в кости. Все участники сдают вначале игры свои равные ставки "в банк". Игра разбивается на несколько партий и для выигрыша банка надо набрать определенное количество побед в партиях. Вопрос состоит в том, как справедливо разделить банк, если игра не доведена до конца.
В современности, в игровых заведениях заранее оговаривают, что если игра не доведена до конца, то просто игрокам возвращаются ставки. Но это не выглядит справедливым! Ну, предположим, вы играете до 5 побед. В данный момент счет 4:0 в вашу пользу и приходится прервать игру. Довольно очевидно, что гораздо больше вероятность, что выиграете вы, а не ваш соперник, и поделить банк пополам было бы нечестно, да?
На самом деле, еще в 15 веке уже упоминавшийся Лука Пачоли рассматривал подобную задачу. Он предлагал делить ставки пропорционально выигранным партиям. Если счет 2:1 – делить в этом отношении. Но на счете 4:0 ведь очевидно, что это тоже несправедливо. У второго игрока еще остается шанс выиграть, первый игрок еще не выиграл всю игру – и почему же ему уже надо отдавать весь выигрыш?
Конкретный пример Паскаля (самый первый, с которого он начал рассмотрение) такой. 2 игрока ставят по 32 пистоли. Кто выигрывает 3 партии – забирает банк (все 64 монеты). Игру пришлось прервать на счете 2:1. Как надо поделить банк?
Рассуждения Паскаля таковы. Проведем в уме четвертую игру. Если выиграет первый, игра закончена, первый получает 64 монеты. Но с той же вероятностью победит второй. И счет станет 2:2 (при этом счете очевидно, что надо делить банк 32-32). То есть, первому игроку обеспечены 32 пистоли, а оставшиеся 32 он с равной вероятностью получает или не получает. Таким образом, в данном случае надо делить банк 48:16.
Аналогично Паскаль разбирает случай 2:0, а потом и обобщает свои результаты.
/*Для разминки попробуйте и вы, дорогие читатели, решить задачу сначала для счета 2:0, а потом в общем виде. Благо правильное решение для счета 2:1 перед вами.
В общем виде задача формулируется так: игра ведется до N побед. Но игру пришлось прервать при счете m : k, где 0 ≤ m,k ≤ N. В каждом раунде вероятность выиграть у первого и второго одинаковая. Как справедливо разделить призовой фонд? */
Примерно в то же время, в 1654 году Паскаль опубликовал одну из самых известных своих работ «Трактат об арифметическом треугольнике», который мы теперь знаем под названием «Треугольник Паскаля». На самом деле, треугольник Паскаля был известен в Древней Индии, а потом и арабским математикам. Потом он был переоткрыт в Европе в XVI веке (и Паскаль про это знал). Так что же нового в этой работе? В этой работе впервые в истории математики появляется принцип математической индукции в явном, незамутненном, привычном для нас сейчас виде.
В какой-то момент своей жизни Паскаль встречает монахов-янсенистов. И переселяется в монастырь Пор-Рояль (не принимает постриг, нет, просто живет там). Начинается его уход от занятий математикой, физикой и другими науками. В монастыре он пишет шедевр французской классической литературы – свои знаменитые «Письма к провинциалу», которые Бальзак называл "шедевром шутливой логики", а для Пикассо это вообще была настольная книга.
Самая последняя математическая работа Паскаля, посвященная изучению циклоиды, выходит в 1658 году. Паскаль да, почти не занимается наукой. Но однажды ночью он слишком сильно страдает от зубной боли. И чтобы заглушить боль – решает одну из нерешенных задач, сформулированных за несколько лет до этого Мареном Мерсенном. Писать памфлеты при жуткой боли невозможно, как уже выяснил Паскаль, а вот напряженная мыслительная деятельность боль заглушает.
/*Ваша покорная слуга проверяла – и да, в этом что-то есть. Действительно, решение математических задач притупляет боль. Только ни в коем случае не пытайтесь повторить это дома! И не экспериментируйте на живых людях!*/
Через 4 года после этого, Паскаль умер в возрасте 39 лет. После его смерти вышла его философская (так и не дописанная) работа «Мысли». Эти самые «Мысли», конечно, читали все образованные люди того времени и много позже. Великие русские писатели Тургенев, Чернышевский, Достоевский, Толстой восхищались Паскалем36 – однако же, знали его как писателя, философа и мыслителя, но вовсе не как математика.
Лекция 14
.
Готфрид Вильгельм Лейбниц
Представьте себе разоренную долгими годами войны страну. Тридцать лет тут шли военные действия. На десятилетия страну захватил голод. Да и страна не самая большая, крепкая и сильная в мире. На деле, это разрозненные независимые, а во многом и конкурирующие германские мелкие княжества. Это не Франция XVII века – крупнейшая и сильнейшая страна на континенте – как в двух предыдущих главах, центр науки и просвещения. Это не Англия, как раз становящаяся сильнейшей в мире морской державой. И даже среди германских государств это не крупная Австрия. Это – Саксония. Чтобы заниматься наукой, нужны деньги. И нужны люди, не занятые каким-то более насущным трудом. Наука не приносит прибыль сиюминутно, она приносит прибыль когда-нибудь, в дальнейшем. Очень возможно, в следующем поколении, а то и еще позже. Бедные государства не могут себе позволить заниматься наукой.
Ну, и вот в такой стране в 1646 году (Тридцатилетняя война идет уже 28 лет и закончится еще только через два года) появляется на свет Готфрид Лейбниц. Семья Лейбница не аристократическая, но профессорская: его отец – профессор философии морали (что бы это ни значило), его мать – дочь профессора юриспруденции. Семья очень образованная, очень грамотная. К сожалению, отец Лейбница умер, когда сыну не было и семи лет, но мальчику наняли хороших учителей. С 13 лет Лейбниц изучает логику – и невероятно ею очарован37.
В 15 лет Лейбниц поступает в Лейпцигский университет. Он бы мечтал заниматься математикой, но в Германии это невозможно. Даже особо нет нужной литературы. Поэтому поступает он на юридический факультет. Его мечта – построить юриспруденцию по законам математики: с аксиомами, теоремами, строгими доказательствами. Лейбниц думает, как можно бы применить теорию вероятностей в суде. В 20 лет он заканчивает университет, становясь доктором права и идет работать политиком.
Рисунок 14.1: Готфрид Вильгельм Лейбниц, 1646–1716 гг.
Политиком он был весьма интересным. Несмотря на его молодость, он предлагал и претворял в жизнь совершенно грандиозные политические проекты. Один из которых и привел его во Францию.
Суть проекта в следующем. Франция – крупнейшее, богатейшее и сильнейшее государство на континенте, что очень волнует германские княжества. Князь Майнца, на которого работал Лейбниц, придумал, что надо стравить Францию с Великой Османской Империей (тоже величайшей державой, подпирающей с Востока). Увязнув в этой войне, Франция, во-первых, ослабнет, во-вторых, ей точно будет не до Германии. И поручил дальнейшие "мелкие" детали проработать Лейбницу. Лейбниц разработал блестящий план военной компании по захвату Францией Египта. И отправился в Париж, представлять этот проект Людовику XIV. Документ был передан Королю-Солнце, а Лейбницу сказали ждать.
И он ждал. Забегая вперед, сразу скажу, что ни аудиенции у короля, ни даже ответа на свое письмо он не дождался. Хотя провел в Париже около 4 лет. Однако у этой истории было небольшое забавное продолжение. Чуть более чем сто лет спустя Император Наполеон Бонапарт, признанный гений военного ремесла, вероятно, обнаружил этот проект в дворцовых закромах – ведь военный поход Франции на Египет проходил ровно по этому сценарию. Наполеон, хоть и баловался на досуге математикой, но все же останется за пределами нашего рассказа38.
Так вот возвращаемся к Лейбницу. Лейбниц в Париже, ждет (не дождется) аудиенции Его Величества, и, конечно, идет на семинар Марена Мерсенна. Конечно, самого Мерсенна уже нет в живых, но семинар функционирует, более того, из семинара Марена Мерсенна выросла Французская Королевская Академия Наук39. И там Лейбниц знакомится с блестящим ученым (физиком, математиком, астрономом, изобретателем, механиком) Христианом Гюйгенсом40. В общем, Гюйгенс стал учить Лейбница математике. Не той математической азбуке, которую, конечно, Лейбниц как образованный человек знал, а настоящей, современной математической науке. Которую Лейбниц не знал совершенно, потому что в Германии не было никого, кто мог бы ему хоть что-то объяснить, не было литературы, не было ничего. (Лейбницу примерно 26 лет).
Первое потрясающее изобретение Лейбница на этом поприще – Лейбниц изобрел счетную машину. Во многом, это усовершенствование арифмометра Паскаля. Но машина Паскаля умела только складывать числа и вычитать, а Лейбниц научил механическую машину числа еще и умножать, делить и извлекать квадратный корень! (Но подробнее про счетную машину Лейбница я чуть позже расскажу в главе 17). Свою счетную машину Лейбниц показывает Английской Академии наук. Его мгновенно приняли в Академию и он стал академиком! Лейбницу в тот момент всего 27 лет.
А позже Лейбниц безумно заинтересовался тем, чем мало-помалу занимались все серьезные математики того времени: изучению кривых. Основных вопросов два: как строить касательную к кривой и как считать площадь под кривой. Как вы уже догадались – это основные вопросы математического анализа. И да, Лейбницу удается построить то, что тогда называли дифференциальное исчисление. В 1675 году он уже полностью разработал новую науку, а в дальнейшем занимался ее развитием и продвижением. По примеру семинара Мерсенна, он ведет широчайшую переписку (отсюда мы и знаем достоверно, что, например, "формула Лейбница" (формула дифференцирования произведения) в 1675 году уже существовала). Объем переписки Лейбница колоссальный, и всем он рассказывает про вновь открытый математический анализ. Вскоре, математики всей Европы уже про него знают, изучают его и придумывают новые теоремы. Цикл статей Лейбница, посвященных математическому анализу вышел в 1684-1686 годах, но к тому моменту уже вся Европа про математический анализ все знала. Кроме переписки, Лейбниц с удовольствием брал учеников внутри Германии (хотя продолжал служить на политическом поприще).
В письме к Лопиталю Лейбниц писал: «Хорошее наследство лучше любой самой красивой проблемы геометрии, так как оно играет роль общего метода и позволяет решить много проблем.» Неужели же Лейбниц ценил деньги выше геометрии (и именно поэтому работал не геометром, а политиком)? Вовсе нет! Но Лейбниц ценил общие методы. Как Декарт стремился к ясности, так Лейбниц стремился разработать единый метод для всего. В частности, его вклад в математический анализ, произрастает отсюда же. Действительно, математический анализ (который, кстати, никак не мог возникнуть без идей Декарта) – это очень мощный математический метод. И на первый взгляд кажется, что он подходит практически для любых задач. Для физики, для химии, для биологии, для самой математики. Как только есть какая-то закономерность (т.е. функция) – так сразу ее можно анализировать (и возникает мат.анализ).
Еще одно из следствий стремления к общему методу: у Лейбница была мечта. Он хотел объединить все религии мира. Большинство религий мира очень похожи, и различаются лишь ритуалами и некими нюансами. А Бог – он один. И было бы отлично, если бы люди это понимали. Так считал Лейбниц. Если не получится объединить все религии, так может быть получится объединить хотя бы все ветви Христианства? Ведь невозможно понять и простить войны между католиками и протестантами, каждая из сторон в которых воюет во имя Иисуса Христа. Ну, а если не удастся объединить все ветви христианства, то может быть хотя бы можно объединить все ветви протестантизма? Ну, конечно, Лейбницу это не удалось, но он очень многое сделал для объединения Германии.
Однажды в своей жизни Лейбниц был влюблен (за исключением влюбленности в математику, имеется в виду). Но тут ему не повезло. Его возлюбленной была принцесса – София Шарлотта, дочь герцога Ганноверского, у которого он служил, которая впоследствии стала первой королевой Пруссии (в браке с Фридрихом Первым). С Софи Шарлоттой Лейбниц дружил и поддерживал теплые отношения, учил ее математике. Софи Шарлотта славилась тем, что была королевой-интеллектуалкой, и вместе с Лейбницем создала Прусскую Академию Наук. Но какие-либо романтические отношения были, разумеется, невозможны из-за разницы социального статуса.
В своем путешествии по Европе с Лейбницем знакомится и Петр Первый. Именно Лейбницу принадлежит идея, а впоследствии и составленный по поручению Петра подробный проект нашей Петербуржской Академии Наук. А кроме того, Лейбниц помогал Петру составлять проекты по изменению русского судостроительства и разные новые законопроекты, которые помогли Петру Первому на пути превращения России в правовое государство.
Лейбниц предложил всем перейти на двоичную систему счисления. Основание к этому было интересным. Христианские миссионеры не добились в Китае почти ничего. Лейбниц приписывает это "биполярной" системе мышления китайцев (что бы это ни значило – но именно так он пишет в письмах). Эта самая "биполярная" система мышления противоположна европейскому многополюсному мышлению. Невозможно в чем-то убедить людей, если весь стиль мышления у вас разный. А мышление формируется счетом и числами! Отсюда вывод: чтобы научиться мыслить биполярно, как китайцы, надо ввести не десятичную, а двоичную систему счисления. После чего наступит взаимопонимание, и китайцев можно будет склонить к истинной вере.
Вот славился Лейбниц грандиозными замыслами! Наверное, именно поэтому Петр Первый, который также был большим мечтателем и имел девиз по жизни "вижу цель, не вижу препятствий" был Лейбницу так близок.
Хотел Лейбниц и построить универсальную математическую логику. Все идеи в мире пронумеровать числами. Например, Бог – это 1. Животное – 2. Разум – 3. Если число А делится на число Б, то в понятие А входит понятие Б. Человек должно быть числом 6 (потому что он и животное, и разумное). А потому же Бог – единица, потому что все сущее несет в себе идею Бога. Если бы все идеи в мире пронумеровать – то любую новую идею можно было бы вывести. Верна она или не верна. Есть тяжба в суде? Давайте рассмотрим все аспекты и посчитаем, кто прав, а кто нет. У Лейбница есть правила и посложнее, чем "правило делимости", конечно. Не то, чтобы Лейбниц действительно занимался построением такой системы понятий, он, скорее, выдвинул гипотезу, показал ее возможность, и на том успокоился. В каком-то смысле, эти идеи универсальной математической логики предвосхитили идеи той науки, которую мы называем сейчас "математической логикой". Но они не были тогда опубликованы, поэтому математическая логика как наука возникла позже, только к середине XIX века в работах Джорджа Буля и Чарльза Доджсона. Ну, а Гёдель зато, размышляя над трудами Лейбница об универсальной арифметической логике, в начале XX века придумал свою "теорему о неполноте".