Екатерина Кукина
Века сквозь математику, или Как математики раз за разом мир вертели
/*Теорема о неполноте – настоящий кошмар математиков. Именно с нее начался экзистенциальный кризис математики начала XX века, который (как мне кажется) так и не закончился. А гласит теорема примерно следующее. Представим себе, что у вас есть формальная система, в которой вы определили понятие нуля, единицы, натуральных чисел, и ввели сложение и умножение с теми аксиомами, с какими они обычно вводятся. (И, возможно, какие-то еще, лишь бы непротиворечивые с предыдущими). В такой системе всегда будет существовать высказывание, которое можно сформулировать в этой системе аксиом, но нельзя из нее вывести ни само это высказывание, ни его отрицание. (Т.е. оно не является ни истинным, ни ложным).
Если какое-то высказывание нельзя ни вывести, ни опровергнуть, его можно сделать новой аксиомой. Но это опять будет формальной системой с понятиями натуральных чисел, сложения и умножения – и там снова будет высказывание, не являющееся ни истинным, ни ложным. Ну, и так далее, хоть до бесконечности.
Одно из высказываний, которые способны понять студенты-первокурсники, и которое (доказано) не может быть выведено из обычных свойств действительных чисел, такое.
Вот у нас есть (бесконечное) множество натуральных чисел (обозначается ). Все другие бесконечные множества по мощности не меньше, чем , это мы знаем. Но не обязательно, больше него. Например, по мощности множество "четных натуральных чисел" такое же, как множество "всех натуральных чисел" (хотя и является частью ). Но и мощность множества рациональных чисел такая же, как мощность множества натуральных (хотя рациональные числа содержат в себе натуральные, но "по количеству" их одинаково). А вот множество действительных чисел по мощности строго больше множества натуральных () (иначе говоря, вам никак не удастся занумеровать все действительные числа уникальными натуральными номерами). Это теорема открыта Кантором, и ее доказать как раз можно. Мы с моими школьниками 10-классниками ее разбирали.
А "гипотеза Кантора" состоит в том, что любое бесконечное подмножество действительных чисел либо равно по мощности множеству всех действительных чисел, либо же равно по мощности множеству натуральных чисел (это называется "счетно"). Оказалось (и Гёдель это доказал), что эту гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть. */
Лейбниц оставил вклад не только в математике и компьютеростроении, не в только политике, юриспруденции и философии, но еще и, например, в биологии, психологии, лингвистике, этике, эстетике, и т.д, и т.д. И везде он стремился найти "общий метод" (и зачастую вводил как общий метод математику, именно математику считал мерилом научности науки).
До конца своей жизни Лейбниц активно занимался тем, что пытался объединить Германии. Он, как мы уже упоминали, участвовал в создании Прусской Академии наук, брал учеников, учил Германию математике. Именно с Лейбница начался процесс, который всего через 100 лет, к концу XVIII века уже сделал Германию центром математической (и вообще научной) жизни.
14.1
Философия Лейбница.
Очень близка философия Лейбница к идеям средневековых философов-схоластов. Основная идея схоластов – доказать, что несмотря на все несовершенства, мир устроен Богом красиво, справедливо и, одним словом, "гармонично".
Декарту не хотелось никакой гармонии в мире. Ему хотелось ясности. Паскаль скорее вообще сомневался в том, что мир устроен справедливо и гармонично. А вот основная философская теория Лейбница даже название получила "Теория предустановленной гармонии", излагается она в книге под названием "Монадология".
Основой мировой гармонии являются "монады" (от греческого слова "монос" – единый). Монады – это что-то похожее на души, но не совсем. Наверное, можно сказать, что это "сущность". Такие монады есть у людей, у животных, у растений. Но не только. У их частей – тоже есть монады. У руки, у ноги, у стебля, у лепестка, у хобота, у копыта…
Есть мир материальный, а есть духовный – мир мириад монад. Монады не могут общаться друг с другом, но находятся в непрерывном диалоге с Богом, который их и сотворил. Именно поэтому монада знает все. В каждую монаду включены все понятия мира. Именно поэтому, чтобы глубоко познать весь мир, надо глубоко заглянуть в себя. И хотя это сделать чрезвычайно трудно, но это более простой путь, чем исследовать пристально весь внешний мир. Эта идея вообще характерна для философов XVII века.
Непонятно, математический анализ Лейбница – это отражение его монадологии, или же монадология возникла из-за математического анализа. У Декарта, например, его аналитическая геометрия точно выросла из его принципа "ясности".
Мир состоит из мириад монад. Но каждая монада – содержит в себе опять целый мир, который в свою очередь состоит из мириад монад.
Неправда ли, философия, похожая на математический анализ?
Лекция 15
.
Исаак Ньютон
Рисунок 15.1: Исаак Ньютон. 1642 (1643)–1727гг.
Внешне Ньютон был невысок, но крепкого телосложения. С волнистыми и до глубокой старости очень густыми волосами, хотя к 40 годам уже абсолютно седой.
Как и три прочих наших главных героя XVII века, Ньютон никогда не был женат и не оставил наследников.
Родился Ньютон в Англии, а не на материке. Тут никак не чувствуются события Тридцатилетней войны. Хотя у Англии тех времен своих потрясений достаточно. На детство Ньютона выпали годы Английской Революции. Однако к моменту поступления его в универ, ситуация в Англии уже каким-то образом стабилизировалась, и в стране существовали все условия для того, чтобы успешно заниматься наукой, чем он и занимался.
Если бы революция в Англии не случилась, кто знает? Возможно, Ньютон, простой фермерский сын не смог бы пойти учиться в университет. Не только не дворянин, но даже не сын образованных или богатых людей – как? Но в те времена как раз в Кэмбриджском университете ввели систему, при которой неимущие студенты могли не платить за свое обучение, а отрабатывать его на разных университетских работах. На континенте такое тоже было бы невозможно: все образование было очень дорогим. Позже, когда начали открываться первые университеты в России, там позаимствовали эту систему, и так же смог получить образование Лобачевский.
Итак, Ньютон поступает в Тринити-колледж Кэмбриджа. К моменту его поступления, на самом деле, у университетов Англии все плохо. Средневековые давно устаревшие программы: мертвые языки, богословие, математика на уровне Древней Греции. Преподавание никаких современных наук не предусмотрено. Но тут Ньютону опять невероятно везет. Когда Ньютон учится на третьем курсе, меценат Генри Лукас дает деньги на открытие должности преподавателя современных дисциплин (физики, астрономии, современной математики). Такая должность существует в Кэмбридже до сих пор. В XX веке, например, на ней одно время числился знаменитый физик Поль Дирак, потом Стивен Хокинг. А в те времена это была экспериментальная должность, и на нее пригласили известного в те времена математика Исаака Барроу, он-то и стал учителем Ньютона.
15.1
Исаак Барроу
И еще одно совпадение, которое в итоге привело к тому, что Ньютон стал тем, кем стал. Исаак Барроу не должен был вообще получить приглашение на работу, и то, что он в итоге вступил в должность – тоже есть результат случайностей.
Барроу к этому моменту 34 года, и он извествный ученый. Он вообще-то богослов и составляет "библейскую хронологию" (в том числе, например, чтобы посчитать точно, какой идет год от Сотворения мира). Но для того, чтобы составить библейскую хронологию, Барроу надо заниматься историей (датировать исторические события).
Рисунок 15.2: Исаак Барроу. 1630–1677гг.
Чтобы заниматься историей, ему приходится заниматься астрономией (потому что многие исторические события жестко привязаны к астрономическим явлениям: появлениям комет, солнечным затмениям, и так далее – именно так их проще всего отнести к какому-то временному периоду с наибольшей степенью точности). Для того, чтобы заниматься астрономией Барроу приходится выучить физику, а в частности оптику (именно Барроу открыл формулу тонкой линзы , позволяющую по радиусам сферических поверхностей линзы установить ее фокусное расстояние). Ну, а уж для того, чтобы хоть что-то петрить в физике, надо хорошо знать математику. Поэтому если хочешь заниматься библейской хронологией – вот тебе еще список дисциплин!
В том самом 1663 году, когда его пригласили прочитать курс современной математики в Тринити-колледже, Барроу уже плыл на корабле в Палестину, чтобы там на месте заниматься своим религиоведением. Однако, на корабль напали пираты. В принципе, пассажиры не обязаны отбиваться от пиратов – но Барроу со шпагой в одной руке и мушкетом в другой, был в гуще событий. От пиратов-то отбились, но корабль пострадал, и вынужден был вернуться в Англию, отложить рейс – а на берегу Барроу получает приглашение в Кэмбридж!
Читать можно было все, что угодно. Лишь бы это была "современная наука". И Барроу стал читать математику. Мы знаем содержание того курса. Весь курс был посвящен одной теореме. Теореме о связи между интегрированием и дифференцированием, которую мы теперь знаем под названием "Теорема Ньютона-Лейбница" или "Формула интегрирования Ньютона-Лейбница". Как же одна теорема, которая сейчас на первом курсе студентам преподается одну лекцию, могла занять целый курс у Ньютона-третьекурсника? Дело в том, что теорема не была до конца сформулирована, а демонстрировалась на десятках примеров.
Из книги по мотивам курса (которую Барроу тогда же примерно и издал) очевидно, что теорему эту он понимал очень хорошо. Да, последнего шага (формулировки, какой мы знаем сейчас) Барроу не хватило. Но теорема фактически уже была. Однако, книга была написана так плохо, что ее никто не читал. Про Лейбница я писала, что он свои результаты всем рассказывал, всячески продвигал и публиковал. К тому же, он очень неплохо владел языком – и его статьи были понятны. Барроу книгу написал, опубликовал – но ее никто не читал, потому что не понял. В книге было 180 чертежей и примерно столько же слов. Барроу считал, что по чертежам все понятно и так. А Ньютон слушал Барроу на лекциях, где Барроу, конечно, чертил чертежи вживую и объяснял, что он делает – и так Ньютон смог понять эту новую теорему.
/*Уже вторую главу мы постоянно поминаем (и без этого никак) вопросы о том, как создавалась такая большая и важная отрасль математики как Математический анализ. Если вам интересно прочитать про это подробнее – я настойчиво рекомендую полную юмора и иронии книжку В.И.Арнольда "Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук"[46]. В первой главе изложена история вопроса (и глава будет доступна старшим школьникам и нематематикам), а в последующих главах изложены исторические, древние доказательства теорем математического анализа, до "причесывания" и формализации матанализа Вейерштрассом – и это уже лучше читать более подготовленным читателям, но это безумно интересно. */
Короче говоря, в Кэмбридж приезжает Барроу, Ньютон заворожен его лекциями и открывшейся перед ним наукой – и это определяет его в дальнейшем как ученого.
Барроу проработал в Кэмбридже 6 лет и уехал в Лондон, став придворным проповедником. Должность "лукасовского профессора" он оставил 26-летнему на тот момент Ньютону, который уже к тому моменту сформировался как ученый и такую ответственность ему доверить было можно. При этом возникло неожиданное препятствие. В Кэмбридже могли штатными профессорами работать только священнослужители. А Ньютон принимать сан не хотел. Но должность была особенная (спонсорская), поэтому Ньютон ее-таки занял (Барроу сильно настаивал, а придворному проповеднику отказать было сложно). Но жалования от университета Ньютон при этом не получал, а получал только спонсорскую надбавку.
15.2
Чума 65 года
Но вернемся к молодому Ньютону. В 1665 году в Англии начинается страшная эпидемия чумы. (Ньютону на тот момент 22 года, 2 года как он познакомился с Барроу. Университет, как и все заведения в стране, закрываются на карантин. Ньютон уезжает домой в родной городок Вульсторп, где полтора года живет в самоизоляции.
Чума была страшная. Некоторые городки вымерли целиком. В Лондоне умерло 20% населения. В некоторые дни в Лондоне умирало за день 1000 человек.
Говоря грубо, за эти полтора года Ньютон изобрел всё. Именно в эти полтора года Ньютон полностью разработал основы интегрального и дифференциального счисления. Это произошло на много лет раньше, чем до тех же идей додумался Лейбниц (опубликовал Лейбниц свой труд в 1684 году). Хотя работы Ньютона не отличаются той общностью, как у Лейбница. Ньютон, как и Паскаль, был склонен решать конкретные задачи. Лейбниц, как и Декарт, был мастером строить всеобъемлющие теории. Наверное, стоит признать, что Ньютон в первую очередь был физиком. Математика его интересовала как инструмент для решения физических задач. Возможно, именно поэтому он функции рассматривает только от времени, как процесс чего-то во времени (никаких зависимостей, например, цены от спроса или роста от веса он не рассматривал – только процессы).
У Ньютона математический анализ более геометрический. У Лейбница – более формальный, аналитический. Общее у них – использование числовых рядов. Оба они понимали, что их можно применять для решения дифференциальных уравнений. У Ньютона в работах есть начала теории пределов, у Лейбница – нет.
Что еще изобрел Ньютон во время этого карантина? Например, бином Ньютона. Вообще говоря, бином Ньютона для натуральных степеней был известен еще в Средние века арабским математикам – это совершенно точно, да и в работах у Паскаля он встречается! (например, в работе про треугольник Паскаля). Ньютон же обобщил формулу для любых рациональных (и отрицательных, и положительных) степеней (получил в этом случае бесконечный степенной ряд).
В этой же изоляции Ньютон сформулировал и Закон Всемирного тяготения. И свои Три закона Ньютона, основополагающие законы физики.
Свои все размышления этих полутора лет о мат.анализе Ньютон оформил в виде книжицы "Метод флюксий и бесконечных рядов" (флюксиями Ньютон называл функцию прироста, то есть производную). Но книгу он так и не издал. Хотя оформил Ньютон свои труды на много (больше, чем на 10) лет раньше, чем Лейбниц вообще узнал про математику. Но Лейбниц свои труды издавал и всем рассказывал, а Ньютон рассказывал только единицам, и то внутри Кэмбриджа. Вся Европа узнала математический анализ именно от Лейбница.
Почему Ньютон не издал свою книгу? Издать математическую книгу в те времена было сложно, потому что они, конечно, как правило, не окупались. Ну, а кроме того, близкие идеи одновременно приходили в голову многим математикам и возникали вопросы о приоритете. Имел ли право А опубликовать Теорему 1, ведь ее уже давно знал Б? Ньютон очень не хотел влезать в дрязги по поводу научного приоритета, не хотел, чтобы его как-либо обвиняли в плагиате. И в итоге работу не опубликовал. Известна фраза Ньютона про то, что он "стоял на плечах великих". Потому что, действительно, многие идеи мат.анализа уже на тот момент витали в воздухе и были известны математической общественности.
По иронии судьбы, именно неопубликование работы и втянуло Ньютона впоследствии в жесточайший спор с Лейбницем о приоритете. В 70 году Ньютон полностью оформил свою книжку "Метод флюксий". Статья Лейбница "Новый метод максимумов и минимумов…" вышла в 84 году. В 93 году Ньютон узнал, что уже вся Европа пользуется матанализом Лейбница, и вступил с ним в очень уважительную научную переписку. Лейбниц в этой переписке восторгается Ньютоном, говорит, что Ньютон сделал в математике больше, чем за всю историю сделали до него!
А поссорили их ученики. Со стороны Ньютона это был Абрахам Муавр (тот, именем которого названа формула Муавра); со стороны Лейбница начали бочку катить братья Бернулли. И со временем вопрос о приоритете раздули до вопроса национальной гордости. В 1712 году вся образованная Англия кричит, что Лейбниц – вор и лжец. Ньютона охватывает это общенациональное безумие. Но сторонники Лейбница тоже не сдавались. В итоге спор вышел грязный и нешуточный. (Со стороны Германии такой волны протеста не было, ведь и Единой Германии не было, были небольшие княжества, но ученики Лейбница, которых было очень много, стояли насмерть!) К концу жизни Ньютон и Лейбниц очень поссорились.
И вот так и получилось, что Англия больше отстаивала приоритет, чем занималась наукой. А прогрессивная Франция (а за ней Швейцария, и Германия) принялись дальше тем временем развивать мат.анализ. В Англии же за следующие почти 100 лет никаких великих прорывов в матанализе не произошло.
Но это я забежала сильно вперед. А Ньютон пока в карантине. С помощью своего Закона всемирного Тяготения и изобретенного мат.анализа Ньютон сделал очень многое как в физике, так и в математике. Например, именно Ньютон (в эти же полтора года) доказал законы Кеплера.
В эти же полтора года Ньютон оформил (и даже почему-то позже опубликовал) свою статью о классификации кубических кривых, это очень тонкая и нетривиальная работа.
/*Кстати, раз уж зашел разговор, возникает нетривиальный вопрос: а кто автор теоремы о классификации кривых второго порядка, которую студенты изучают на первом курсе? А никто! Практически все идеи, необходимые для этого, возникали в Древней Греции. Греки и эллипс, и гиперболу, и параболу знали досконально! Но, конечно, тогда просто не было понятия "кривая второго порядка", потому что для такого понятия нужны координаты. Как только Декарт придумал координаты, так эта классификация сразу сложилась.*/
Конечно, вопрос с кубическими кривыми намного сложнее. Достаточно только сказать, что невырожденных кубических кривых 72 типа (а не три, как для квадратных)! В ходе работы Ньютон продемонстрировал блестящее владение аналитической геометрией.
Забавное состоит в том, что Ньютон выучил геометрию не по "Началам" Евклида, как было принято тогда, и как более менее принято до сих пор. Ньютон выучил геометрию по Декарту! Когда Барроу это обнаружил – он схватился за голову. Велел Ньютону проштудировать всего Евклида, и принял индивидуальный экзамен. Однако, Ньютон "Начала" так и не полюбил. Считал, что там сильно много времени посвящается доказательству очевидных фактов.
15.3
После уединения
После уединения, Ньютон уже не делает открытий столь масштабных. Работает в университете, читает те самые лекции по современной математике, которые так блестяще прочитал ему Барроу.
Однако, по свидетельствам очевидцев, преподавателем он был плохим. На его лекции ходило 2-3 человека, иногда и вовсе никто не являлся. В 1688 году (Ньютону 45 лет) Ньютона выдвигают быть представителем Кэмбридского университета в парламенте. Про эту его обязанность ходит ровно одна история: за все годы заседаний в парламенте его голос прозвучал лишь раз и это была просьба закрыть форточку. И хотя в этой должности Ньютон себя никак не проявил, но он проявил себя как отличный организатор (или как сказали бы сегодня, как жесткий кризис-менеджер) на другой государственной должности. В 1695 году его назначают смотрителем Монетного двора. Ньютону поручается искоренить фальшивомонетчиков (для чего он организует денежную реформу; организует работу Монетного двора) – и справляется с этим блестяще! Именно за его общественногосударственные должности, а вовсе не за научные заслуги, королева Англии дарует ему дворянский титул в 1703 году. Тогда же он становится президентом Королевсокго научного общества (Английской академии наук).
Рисунок 15.3: Вильям Блейк. Ньютон – божественный геометр.
Лейбниц встречался с путешествующим по Европе Петром Первым в роли ученого. Рассказывал ему о науке, помогал составить план по открытию Петербуржской Академии наук. С Ньютоном в своих странствиях король Петр тоже встречался, однако же (очень вероятно) даже не знал, что тот – блестящий ученый. Ньютон разговаривал с Петром именно в качестве крупного королевского чиновника и финансиста.
Научные изыскания Ньютон не то, чтобы забрасывает, нет. Он по-прежнему занимается физикой, математикой. Очень много – астрономией и оптикой. Например, в 1696 году Ньютон решает задачу о "кривой наименьшего спуска", которую поставил перед научным сообществом Иоганн Бернулли полугодом ранее. Задача состоит в следующем: есть две точки. Одна выше (А), другая ниже (В). Нужно проложить от точки А к точке В "горку" такую, чтобы объект, катящийся из точки А в точку В по этой горке достигал ее за минимальное возможное время. Если верить преданиям, как-то раз Ньютон пришел очень усталый со своей работы в Монетном дворе, на глаза ему попалась эта задача – и он ее за один вечер решил41. На следующий же день ее анонимно опубликовали в трудах Английского Королевского общества – но у общественности не было сомнений, кто решил задачу. «Узнаю льва по его когтям!» – так воскликнул Иоганн Бернули, увидев решение. Задачу эту независимо от Ньютона другими методами решили и Лейбниц, и Лопиталь, и Якоб Бернулли. Однако метод Ньютона позже развился в целую отрасль математики – в вариационное исчисление.
Но большую часть своей научной энергии, к нашему (физиков и математиков) бесконечному сожалению, Ньютон тратит на алхимию и на богословие. Никаких трудов по алхимии он не публиковал (и другие не публиковали никаких его интересных результатов). По-видимому, главный результат его алхимических экспериментов – хроническое отравление ртутью.
А вот в богословии написал очень много философско-религиозных текстов о природе Бога, об отношениях человека и Бога, и прочее. Вообще говоря, за многие из его суждений его могли жестоко покарать, признав их ересью. Ньютон верил не в новозаветного Всеблагого Бога (который "подставь другую щеку" и прости всех), а верил в старозаветного грозного Бога (который "око за око, зуб за зуб"). Он верил, что Христос был сыном божьим, но не думал, что сын божий – единственный, полагал, что их может быть много. Самого себя он тоже считал сыном божьим (потому что его день рождения в те времена приходился на Рождество; позже календарь с Юлианского сменили на Григорианский и теперь день рождения Ньютона почему-то не совпадает с днем рождения Христа). В одной из ветвей протестантской церкви Ньютон признан апостолом. Но вообще, у Ньютона гигантский объем религиозно-богословских учений. Его архив, который разбирали после его смерти, содержит по объему намного больше богословия, чем всего остального вместе взятого (и, между прочим, богословские тексты Ньютона до сих пор до конца не разобраны).
Занимался Ньютон и вопросами библейской хронологии, как его учитель, Исаак Барроу. На свою работу «Хронология древних царств» он потратил времени на порядки больше, чем на создание математического анализа и оптики вместе взятых.
И, кстати, свой Закон Всемирного Тяготения считал прямым доказательством существования Бога. Он писал, что все планеты без руководства некой Всевышней Руки не могут находиться постоянно на своих орбитах, какие предписывает им чистый расчет. Миллионы факторов должны были помешать этому, разладить всю эту идеально сбалансированную систему, и планеты должны были давно уже упасть на Солнце. А раз они не падают – значит, на то есть Высшая воля. Ньютон считает, что на заре времен планеты действительно падали на Солнце, однако, когда они приблизились на определенное расстояние, Божественной Рукой им была придана касательная скорость – и их движение перешло в движение по орбитам.
Сам о себе Ньютон писал так: «…Я не знаю, чем я могу казаться миру; но сам себе я кажусь только мальчиком, играющим на морском берегу и развлекающимся тем, что время от времени отыскивает камешек, более цветистый, чем обыкновенно, или более красивую раковину, в то время как великий океан истины расстилается передо мной неисследованным…»