Екатерина Кукина
Века сквозь математику, или Как математики раз за разом мир вертели
9.5
Готическая математика
Развитие математики хорошо ложится на развитие искуссва. Во времена Позднего Средневековья в искусстве появляется особый стиль, готика. Так и в математике в готический период (примерно XII-XV вв) начинает происходить наконец что-то интересное. В науке готическую эпоху знаменует схоластика. Схоластика – логика Аристотеля, но смешанная в равных долях с истовой христианской верой. Все, что делал Аристотель становится хайпом, достойным изучения.
Отсюда, например, возникают грандиозные достижения в логике. Появляется из самых известных логических принципов науки, бритва Оккама: «Не следует множить сущности без необходимости».
Николас Орем
Рисунок 9.4: Николя Орем переводит Аристотеля на французский.
Николас Орем (1323–1382 гг., Франция) – преподаватель колледжа при Парижском университете, епископ города Лизьё (помните, мы уже говорили, что в Средние века самыми учеными людьми, хранителями знаний были люди церковные?), наставник будущего короля Франции Карла V. Занимался многими науками. Нас больше всего интересует физика (механика). Он один из первых доходит до идеи Гелиоцентрической системы (но это не точно, он очень осторожно высказывался и так это и не высказал вслух), формулирует принцип относительности (в точности в том же виде, что позже, в XVII веке переоткрыл Галилей), одним из первых занимается равноускоренным движением, доказывает несколько теорем.
Самое интересное его достижение в математике: он доказал расходимость гармонического ряда. То есть доказал, что сумма больше, чем любое нормальное натуральное число. Доказательство его достаточно изящно и его может понять даже пятиклассник. Вот у нас есть дробь . За ней следует две дроби . Т.к. , то в сумме эти две дроби больше, чем . И общая сумма уже больше 1. Следующие 4 дроби это, все они не меньше, чем ., и в сумме все 4 дают опять больше, чем . От .до . опять больше половины. И так далее, каждый раз прибавляется больше, чем .– поэтому в итоге, конечно, станет больше любого натурального числа.
Томас Брадвардин
Томас Брадвардин (1290–1349 гг., Англия) – архиепископ Кантерберрийский. Известен своей дискуссией с Аристотелеем (заочной, безусловно, Аристотель к тому моменту уже 1,5 тысячи лет как скончался) о вечности мира. Аристотель, следуя греческой традиции и религии, утверждал, что материальный мир вечен. Брадвардин, естественно, не мог утверждать ничего иного кроме как того, что мир создан Богом (и потому имеет начало, не вечен).
Брадвардин, следуя логике Фомы Аквинского, отрицал какую-либо бесконечность. Рассуждал он так. Если бы мир существовал вечно, то в мире было бы бесконечное количество душ, поскольку Бог создает каждый день как минимум одну душу. Почему же Бог обязан создавать души? Почему не может быть бесконечное количество душ? Брадвардин отвечает так: часть бесконечного множества не отличается от целого, поэтому сотворив бесконечно много душ, Бог поступил бы нелогично, неэкономно. А Бог нелогично поступить не может.
Это и есть суть схоластических рассуждений. Схоласты всегда ищут противоречие с тезисом Евклида: "Целое не может быть равно никакой своей части" – а тезис этот для них непререкаем!
Только в 19 веке наконец математики поймут, что этот тезис не работает в случае бесконечных множеств. Окончательно докажет это и разработает непротиворечивую теорию бесконечных множеств Георг Кантор. Ирония в том, что практически все идеи Кантора так или иначе высказали Брадвардин и другие схоласты, но посчитали, что они ведут к противоречию. И только Кантор сделал последний шаг, создавая в математике понятие "бесконечность".
/*Сейчас, когда в математике благосклонно смотрят на понятие бесконечности, появилось великое множество анекдотов, иллюстрирующих идею Брадвардина (о том, что в бесконечном множестве подмножество может быть неотличимо от целого).
В бесконечную гостиницу приехали на симпозиум бесконечно много ученых. Портье заселил их по порядку. Первого – в первый номер, второго во второй и так далее по очереди. Но тут приезжает опоздавший Кантор! Кантора никак нельзя не поселить! Поэтому портье всем ранее приехавшим говорит:
– Срочно переселяемся в номер, следующий за вашим! Гость из первого номера – во второй, из второго – в третий, и так далее.
Всем ученым хватило мест, да еще и остался один номер для Кантора!
В следующей серии анекдота, к гостинице (уже заселенной полностью математиками) приезжает второй автобус, привозящий столько же физиков! */
Но, кстати, как показала история, правильно Брадвардин не стал утверждать бесконечность Вселенной. Именно такое высказывание послужило одним из поводов сжечь на костре печально известного (не ученого, нет, философа и поэта) Джордано Бруно.
9.5.1
Коперник
Ну, и несколько забегая вперед тут же расскажу про Коперника. Чьи идеи тоже, укоренившись в голове Джордано Бруно, довели того до костра. И хотя формально Коперник жил уже в Эпоху Возрождения, но его жизнь очень похожа на то, что творилось в Средние века.
Николай Коперник (1473–1543 гг., Польша) – польский (или немецкий – тут среди историков согласья нет) ученый (математик, механик, астроном, экономист, медик, теолог). После окончания своего образования 
работал священником в разных польских городах.
Рисунок 9.5: Николай Коперник.
Пока Архимед только грозился и искал точку опоры, Коперник действительно перевернул мир. Он в своих работах убедительно доказал, что не Солнце вертится вокруг Земли, а Земля вокруг Солнца. Но если Джордано Бруно, поверивший идеям Коперника, пошел ради своих убеждений на плаху, Коперник по настоянию церкви, от этих идей отказался, публично признал, что был неправ и стал пописывать труды на эту тему дальше, но уже без публикации. И в том числе успел сделать много всего хорошего в математике.
/*Кстати, сейчас почему-то все помнят, что Джордано Бруно сгорел на костре, отстаивая гелиоцентрическую систему супротив геоцентрической. На самом деле, у Бруно было очень много здравых идей, а уже все в сумме привели его к казни. Например, он высказывал аккуратные сомнения в непорочности Девы Марии (будучи вообще-то монахом, и человеком глубоко религиозным, верующим в Бога без каких-либо сомнений). А еще считал, что в Космосе есть много планет, подобных Земле.
Но Джордано Бруно точно никакого отношения к нашей книжке не имеет.*/
Что же сделал Коперник в математике? Доказал теорему Коперника! Если окружность катится внутри по окружности вдвое большего диаметра, то любая точка меньшей окружности чертит отрезок (диаметр большей окружности).
Эта теорема Коперника очень даже хорошо пригождается при строительстве машин и механизмов, превращая круговое движение в возвратно-поступательное.
Какие книги можно еще почитать.
К главе 9 про Средневековье.
[27]
В. Прасолов, История математики. —
https://vvprasolov.livejournal.com/67259.html
/*Всеобъемлющий труд по истории математики. Читать – крайне рекомендую. Публикуется автором в интернете по мере написания.*/
[28]
под ред.С.П. Капицы, Библиотечка Квант. Замечательные ученые. – М.: Наука, 1980.
/*Симпатичная недлинная книжка. для данной главы нас интересует статья из этой книжки про Коперника.*/
[29]
П.П. Гайденко, Время, длительность, вечность. – М.: Прогресс-Традиция, 2006.
/*Книжка не по истории математики, а скорее по истории философии и науки в целом.*/
[30]
А. Даан-Дальмедико, Ж. Пейффер, Пути и лабиринты. Очерки по истории математики. – М.: Мир, 1986.
/*Это хорошая, незанудная книжка по истории математики. Она недлинная, но довольно интересная.*/
[31]
под ред. А. П. Юшкевича, «История математики с древнейших времен до начала XIX столетия» в 3 томах – М.:Наука, 1970.
/*А это всеобъемлющий академический учебник по истории математики, нам уже не раз встречался.*/
Лекция 10.
Эпоха Возрождения
У каждого, каждого явления в мире есть как плюсы, так и минусы. Когда мы говорим про Эпоху Возрождения, мы представляем себе прекрасные полотна Микельанджело, Рафаэля, да Винчи. Прекрасные дворцы и храмы Неаполя или Палермо. Мы знаем, что сам термин "возрождение" означает что-то хорошее. В нашем случае это возрождение интереса к науке Древней Греции, возрождение искусства, начало возрождения человека как человека свободного. Возрождение после долгой спячки Средневековья.
Именно в Эпоху Возрождения (к концу 15 века) возникает книгопечатание – великий этап на пути распространения знаний! Представьте себе, теперь не надо длинные труды (такие, как, к примеру "Начала" Евклида) переписывать вручную. Можно сразу напечатать много копий, на всех хватит!
Однако же, не стоит забывать, что Возрождение – очень жестокая эпоха. Именно к этому периоду относятся самые зверства и расцвет Инквизиции (с гонениями на любых "нехристей", особенно отличалась Испанская Инквизиция). Сжигание на кострах, пытки, прочие прелести. Именно к этому периоду относится правление самых жестоких Римских Пап (которые в те времена, до Реформации, были самыми могущественными людьми в Европе). Убийства в подворотнях, воровство и разврат.
/*
Простите, не смогла удержаться. Некоторые историки пишут, что в 16 веке самой распространенной причиной смерти были не войны или ранения. Не чума или проказа. Это был банальный сифилис.
*/
Рисунок 10.1: Витрувианский человек Леонардо да Винчи
Зачастую, читая про великого художника эпохи Возрождения, мы узнаем, что он был пьяницей, казнокрадом, убийцей. Если мы говорим про ученого или художника современного – мы зачастую подразумеваем какой-то его внутренний долг перед человечеством. Например, хорошо известно, почему Эйнштейн никогда не работал в атомной программе ни одной страны. Он настолько хорошо осознавал свой долг как ученого, что не смог бы хранить государственную тайну такого масштаба. Но ученые, поэты, художники XV–XVI века не видят перед собой никаких долгов. Они свободнее. Никакими моральными долгами ученые и люди искусства того времени не связаны.
Вот она, обратная сторона монеты. Люди пытаются нащупать рамки и пределы не только в хороших, светлых сторонах жизни, но и в плохих, самых темных тоже.
В Эпоху Возрождения очень хорошо проявляется поговорка "талантливый человек талантлив во всем". Типичный деятель Эпохи Возрождения увлекается сразу всем! Леонардо да Винчи – яркий из типичных примеров Человека Эпохи Возрождения. Он увлекается всем. И медициной, и изобразительным искусством, и изобретательством. Не чужд Леонардо и философии, и писательству. Практически все художники Высокого Возрождения, были одновременно поэтами. Джероламо Кардано, возникающий в следующем параграфе – и лекарь, и астролог, и мистик, и математик, и инженер. Вот такая универсальность была свойствена ученым этой эпохи. Такой универсальности мы не наблюдали и наблюдать не будем. Ученые обычно (за единичными исключениями) занимаются либо чем-то одним (математикой, например), либо близкими, связанными областями (математикой и физикой; живописью и скульптурой). В Эпоху Возрождения же все наоборот. За редкими единичными исключениями ученые занимаются всеми областями знания одновременно!
Надо признать, что несмотря на расцвет всех подряд наук, к математике как к таковой интерес в Эпоху Возрождения еще не просыпается. Занимаются искусством, медициной, физикой – да. Математикой – мало. При всем при том, что Леонардо да Винчи занимался просто всем, чем возможно, математикой-таки он так и не увлекался.
Однако же, некоторые успехи у математики в этот период есть. Самые выдающиеся из них, наверное, это алгебраические обозначения, введенные Виетом (что позволило вскоре развиться алгебре и прочим вычислениям), разработка теории перспективы (что стимулировало развитие неевклидовых геометрий, хотя про это еще никто не знал) и умение решать кубические уравнения (что дало толчок к изобретению в будущем комплексных чисел). Но обо всем по порядку.
Рисунок 10.2: Арабский математик и поэт Омар Хайям (1048 – 1131 гг.)
10.1
О том, как научились решать кубические уравнения.
Квадратные уравнения, несмотря на отсутствие приличных алгебраических обозначений, решать умели в общем виде. Еще на древних вавилонянских глинобитных дощечках приведен алгоритм их решения, полностью эквивалентный формуле , известной (лучше, чем "Отче наш") любому 8-класснику.
У древних же вавилонян были таблицы для решения кубических уравнений вида x3+x = a. (С точки зрения древней математики у такого уравнения ровно одно решение). Конечно, решения эти были найдены приближенно.
А перед более поздними математиками встал вопрос: как же решать произвольные кубические уравнения? Одним из первых каких-то результатов добился Омар Хайям, который решал кубические уравнения вида x3 +ax = b, путем поиска пересечения параболы и окружности. Но ни общего решения для всех-всех случаев, ни алгоритма поиска этой точки пересечения, ни тем более формулы у него-таки не было.
Что такое "для всех-всех случаев"? Дело в том, что математики XV века еще не знали ни отрицательных чисел, ни нуля. Поэтому все уравнения они делили на такие типы:
x3 +ax=b
x3=ax+b
x3+b=ax
Это все были разные типы квадратных уравнений, математики того времени не догадывались и не могли записать все в общем виде x3 + bx2 + cx + d = 0. Они научились избавляться от квадратного члена (выделяя полный куб). После этого очевидно, что уравнения, когда все слагаемые в одной части, решений не имеет (ведь, напомню, они не знали отрицательных чисел, то есть сложив три числа никак не могли получить ноль, тем более, что и с нулем у них в те времена был напряг). В общем, не умели они решать эти уравнения.
Более того, в конце XV века самый известный на то время математик, Лука Пачоли (монах, конечно же; а еще основоположник такой замечательной науки как "бухгалтерский учет"), явным прямым текстом заявил, что никаких формул и алгоритмов для решения кубических уравнений нет и быть не может. Точка.
Но точку превратил в многоточие итальянец Сципион дель Ферро (1465 – 1526). В начале 16 века для решения уравнения вида x он изобрел формулу
Как он ее изобрел – науке это не известно, никаких записей не осталось. По обычаю того времени, формулу публиковать дель Ферро не стал, а сообщил ее своему родственнику и ученику Фиоре. Который использовал это открытие для побед на популярных в ту пору математических турнирах.
В Эпоху Возрождения турниры били приняты во всем! Рыцарские турниры – тот период, поэтические турниры – тот период, и математические турниры тоже. Именно так математики делали себе рекламу, чтобы устроиться на работу в какой-нибудь престижный университет – участвовали в турнирах.
Фиоре был непревзойденным решателем кубических уравнений! Побеждал на разных турнирах, пока наконец на одном из них не встретил Тарталью.
Рисунок 10.3: Николо Тарталья (1500–1557 гг)
Николо Тарталья. Тарталья – не фамилия (фамилия у него была Фонтана), Тарталья – это кличка, под которой он вошел в историю науки. (Тарталья значит "заика", но на самом деле Тарталья не заикался, он был ранен во время военных действий в гортань, поэтому действительно говорил очень плохо). В математике он был самоучкой. Но именно Тарталья первый математически точно доказал, что максимальная дальность полета снаряда будет, если пушку расположить под углом (т.е. 45). Эти работы принесли ему известность.
Тарталья и сам пытался научиться решать кубические уравнения, но пришел к выводу, как и Лука Пачоли, что это невозможно. То ли Фиоре вызвал на дуэль Тарталью, пытаясь показать, что он круче (никаких достижений, кроме того, что он знал формулу, изобретенную его учителем за ним не числилось). То ли сам Тарталья, не веря в то, что Фиоре знает формулу, решил его вызвать на турнир, и прилюдно опозорить. Разные источники рассказывают по-разному. Факт в том, что турнир состоялся.
Что такое математический турнир в те времена? Два соперника обменивались пакетами из 30 задач. Каждый должен был решать задачи, выданные соперником. Потом – докладывать решение перед неким жюри. Самое забавное: никакого правильного ответа на свои задачи предъявлять было не нужно. Победителем объявлялся тот, кто решил больше задач. Ему побежденный платил некоторое количество денег, плюс проигравший должен был устроить обед для победителя и его друзей в таком количестве, на сколько задач проиграл. На решение отводилось 50 дней. В жюри, конечно, входили обычно математики, но также на турнир приходили поглазеть и обычные люди (интернета и даже телека не было, а тут какое-никакое – развлечение). Иногда участники турнира приводили с собой на турниры вооруженных специально обученных людей, чтобы они подсказывали жюри правильное решение. Так что, к радости зрителей, нередко такие турниры заканчивались и дракой!
В общем, кто кого вызвал – я вам не скажу. Но что характерно, участники турнира выдали друг другу задачи, которые в большинстве своем как раз сводились к кубическим уравнениям! И вот, Тарталья получает свой пакет с задачами, которые Фиоре специально подготовил (ведь он один в мире умел решать кубические уравнения). Что же делать Тарталье? Он, конечно, почти уверен, что Фиоре тоже ничего не решит, но вдруг? И он срочно изобретает ту же формулу, которую мы видели!!! (И даже с перепугу проиграть, учится решать еще второй случай.) Тарталья решил все 30 задач. Фиоре ни одной.
– Как так вышло? – спросил любопытный читатель. – Мы же только что узнали, что он умел решать кубические уравнения!
Во-первых, там были не уравнения, а задачи, которые еще надо было свести к уравнениям. Во-вторых, не известно, действительно ли там были уравнения именно нужного типа, может, были уравнения другого типа? А в-третьих… А в-третьих, знание формулы не всегда помогает решить уравнение, дорогие мои!
Вот смотрите. Например, есть у вас уравнение Если подставить это в формулы дель Ферро, получится
.
Но ведь очевидно (глазами видно!), что у уравнения корень 1, более того, корень единственный (левая часть возрастает, правая – постоянна). А по формуле получается какая-то "бяка". Вот, возможно, задачи Тартальи были подобраны именно так, чтобы по формулам получалась бяка. А решение-таки было.
/*Все в порядке, никакого противоречия в математике мы не нашли. Дело в том, что эта самая "бяка" в точности равняется 1, если провести хитрые арифметические преобразования. А именно, учесть, что */
Короче, Тарталья тоже научился решать уравнения первого типа и победил Фиоре! И, кстати, получил потом хорошую престижную работу в университете.
Джероламо Кардано – универсальный ученый. Медик, астролог (услугами Кардано-астролога пользовался сам Папа Римский!), механик (предложил Карлу V конструкцию подвески карет, которую позже назвали его именем – карданный вал (хотя он его не изобретал, если честно)). Но и математик в том числе. Написал книгу по теории вероятностей (хотя тогда такой теории еще не было) «Книга об игре в кости».
Человеком был невероятно честолюбивым, азартным, страстным. Верил во все сверхъестественное, в демонов, в собственные "суперсилы", во всякий мистицизм. (Что сыграло в математике, как ни странно, и положительную роль – иначе он никогда не додумался бы до комплексных чисел). /*И давайте вот такой вам штришок в общую беспощадность Эпохи Возрождения вообще и в портрет Кардано в частности. Кардано (между прочим, сам врач!) однажды за неповиновение отрезал своему сыну ухо. Ну, потому что надо слушаться родителей – иначе зачем ему уши вообще? А времена были беспощадные… */
Рисунок 10.4: Памятная медаль Джероламо Кардано (1501 – 1576).
Кардано, будучи честолюбив, хочет написать великий математический труд. Который заменит существовавший на тот момент эталон в лице книги Луки Пачоли (которая в свое время заменила книгу Фибоначчи). Чтобы его труд был действительно велик, Кардано хочет включить туда и формулу дель Ферро – Тартальи. Просит Тарталью рассказать ему формулу. Но Тарталья отказывает. Во-первых, может, его формула станет жемчужиной его собственной книги? (Которую он хотел бы написать, но так и не написал). Во-вторых, чем меньше людей знает волшебную формулу, тем ему лучше для участия в турнирах! В-третьих, Тарталья боится, что Кардано формулу банально украдет, присвоит авторство себе.
Но после долгих уговоров, Тарталья по секрету рассказывает Кардано формулы для двух случаев, без доказательства, и взяв обещание не публиковать. И действительно, в своей книге "Практика общей арифметики" Кардано эти формулы не публикует. Но он не перестает про них думать. Даже едет за подробностями в Болонью (где раньше жил дель Ферро), чтобы узнать подробности.
Короче говоря, Кардано самостоятельно доказывает и формулы для первого и второго случая. И придумывает формулу для третьего случая. Третий случай – самый сложный. Дело в том, что именно в третьем случае, в единственном из трех, у кубического уравнения может оказаться не одно, а два или три решения! Короче, Кардано доводит дело до конца и пишет отдельную книгу «Великое искусство», целиком посвященную решению кубических уравнений. В предисловии Кардано излагает историю вопроса. Что формулу для первого случая первым изобрел дель Ферро (иначе мы бы про это вообще не узнали!), что формулу для второго случая первым изобрел Тарталья, и переоткрыл формулу для первого случая. И что Кардано лишь завершил работу вместе с учеником Феррари.
Во-первых, в этой книге Кардано все аккуратно доказывает. Во-вторых (что еще даже важнее!) в этой книге впервые Кардано использует "неизвлекаемые" корни из отрицательных чисел! В некоторых случаях в промежуточных вычислениях действительно возникают корни из отрицательных чисел, которые в итоге сокращаются и дают хороший, действительный ответ.
Ну, и в-третьих, в этой же книге включены результаты Феррари (ученика Кардано), который сводит уравнение 4 степени к уравнению 3 степени и двум квадратным (т.е. приводит алгоритм решения уравнения 4 степени).
Второй турнир. После выхода в свет «Великого искусства» Тарталья взбешен! Обвиняет Кардано и Феррари в плагиате (хотя никакого плагиата не было – Кардано честно написал, кому принадлежит приоритет). Феррари, молодой и горячий, вызывает Тарталью на турнир!
На этом диспуте присутствовал весь свет Милана, в том числе и сам губернатор! Кто лучше выступит, тот и прав. Все решится здесь и сейчас. Тарталья – пожилой уже человек, ему 48. Он почти не может говорить. Феррари – молод (ему 26), хорош собой, красноречив (и ничуть не глупее Тартальи вообще-то!) А турниры всегда имели элемент театральщины. Феррари выиграл. Тарталья проиграл.