Джордж Сартон
История античной науки. Открытия великих ученых и мыслителей древности
Доисторическая математика
Переход от эмпиризма к рациональному знанию в медицине неизбежно шел очень медленно, так как включал в себя большое количество независимых переменных. Кроме того, лекарственные средства широко варьировались. Перейдем в другую область, математику, где уже на самом раннем этапе возможен скромный вид рационализации и естественной абстракции. Одно из фундаментальных понятий математики – понятие числа. В его простейшем виде оно могло прийти людям в голову очень давно. Возможно, первый математик – великий неизвестный гений – в общих чертах описал это понятие.
Как такое произошло? Мы можем лишь гадать, но наши догадки не случайны и не тщетны. Первый теолог в общих чертах описал идею единства или целостности: одна причина, один мир, одна индивидуальность (самость), один Бог. Почти так же рано должна была возникнуть и мысль о двойственности или дуализме, поскольку в природе много парных явлений. У нас два глаза, две ноздри, два уха, две руки, две ноги; у женщин две груди. Руки особенно наглядны, ведь человек с самого начала пользовался ими неодинаково. Самые простые действия, такие как еда, питье, применение орудий, занятие любовью или драка, подразумевают разные задачи для каждой руки. Две руки демонстрируют правую и левую стороны всего – не простую двойственность, но противоположность, полярность, в пределах которой одна сторона отличается от другой и бывает предпочтительнее. Главное же противопоставление демонстрировала полярность пола. Не только все люди, но и все животные, за которыми можно было наблюдать, либо мужского, либо женского пола. Это было не только очевидно, но и безоговорочно, неизбежно. Более того, противопоставляются все качества и свойства: горячее – холодное, сухое – мокрое, большое – маленькое, приятное – неприятное, хорошее – плохое.
Выделялись и группы более многочисленные, хотя и не столь универсальные. Отец и мать со своим первенцем составляли троицу, триединство. По реке можно плыть вверх и вниз по течению, но для человека, стоящего на равнине, сторон света больше. Если он вставал, раскинув руки, то мог выделить четыре стороны – вперед, назад и по направлению каждой руки. Скоро язык отразит данное наблюдение четырьмя значимыми словами: вперед, назад, направо, налево. Если одной рукой указывать на восходящее солнце, а другой – на заходящее, возникает представление о четырех важнейших точках. К этим четырем составляющим можно добавить пятую – центр, то место, где стоит наблюдатель. Кроме того, он видит небо над головой и землю под ногами. Отсюда возникают категории пятеричности, шестеричности, семеричности. Первую из этих категорий значительно подкрепляет наличие пяти пальцев. Считая предметы по пальцам на руках и ногах, естественно группировать их пятерками и говорить о количестве «рук». Более крупные группы, например десять или двадцать, почти так же естественны, просто их не так легко признать.
Большинство людей, почти все, принимали подобные категории как данность и не особенно думали о них, но, если среди них находился прирожденный математик – а почему бы ему не быть? – он наверняка догадался о существовании чисел, чисел вообще, абстрактных чисел, не зависящих от считаемых предметов. Должно быть, он понял, что пять пальцев на руке, на ноге или пять… чего-нибудь на Кассиопее – суть одно и то же. Ну а теологов и космологов, возможно, завораживало число один, от которого произошли все остальные, или двойка, символизирующая вселенскую полярность, и даже три, таинственный треугольник. Дуализм, получивший развитие в зороастризме, уходит своими корнями в глубочайшие тайники человеческого сознания.
Эти числовые разряды положили начало не только арифметике, то есть чистой науке, но и числовому мистицизму, или чистой чуши. Оба начала росли буйно. Рассмотрим ситуацию в Китае, не забывая о том, что речь идет о доисторическом периоде. Группирование чисел, которое так любят китайцы, возникло в незапамятные времена. Если бы можно было проследить его до самых истоков, скорее всего, мы бы перенеслись в глубочайшую древность. В китайском мировоззрении превалирует идея о вселенской полярности ян и инь, мужского и женского, позитивного и негативного принципов жизни. Ян – мужское, свет, горячее, активное, небо, солнце, скалы и горы, хорошее… Инь – женское, темное, холодное, пассивное, земля, луна, вода, неприятности и зло… (думаю, понятно, что первыми китайскими космологами были мужчины, а не женщины!).
Рис. 1. Символы ян (белое, мужское) и инь (темное, женское) в окружении восьми триграмм
Все примеры дуализма можно выразить через ян и инь. Сексуальное происхождение всех форм жизни, то, что каждому ребенку полагаются два родителя, распространяется на всю Вселенную. Любопытнее всего то, что такая сексуальная космология очень рано получила математическое выражение. Противопоставляется не только отрицательное и положительное (фундаментальное различие, которое позже разовьется в геометрии и арифметике), но и изображение ян в виде непрерывной, а инь – прерывистой линии. Возьмите три и три соответственные линии, и возможны восемь комбинаций, восемь триграмм (ба гуа), ни больше ни меньше (рис. 1). Открытие этой тайны приписывали Фу Си, легендарному первому императору Поднебесной, который правил предположительно в 2953–2838 гг. до н. э. Подобное приписывание – лишь дань глубокой древности. Если сочетать линии ян и инь шесть по шести раз, получится 64 возможные гексаграммы, каждой из которых придавалось определенное значение. Процесс можно продолжать, и его продолжали (математический ум не дремал!), что уже не должно нас волновать.
Интересно, что древние китайские ученые и мистики, сами того не сознавая, занимались комбинаторным анализом. Глупо было бы ожидать, что они сразу понимали все математические последствия своих умозаключений, но их инстинктивные устремления в нужную сторону подтверждаются тем, что они изобрели шестидесятеричный период (систему китайского летоисчисления), который основан на комбинации десятеричного («небесные стволы») и двенадцатеричного («земные ветви») циклов. Китайское название, «цзя цзы», составлено из названия первого «ствола» и первой «ветви». Названия 12 «ветвей» – это названия животных; так, «цзы» – крыса. Поскольку 12 × 5 = Ц) × 6 = 60, возможны 60 различных комбинаций (рис. 2). Это открытие приписывают еще одному мифическому императору, Хуанди, который правил в 2698–2598 гг. Сначала это открытие применялось только по отношению к дням и часам; считать по этой системе годы начали позже, в эпоху Хань (примерно во время Христа), но нас сейчас интересует лишь фундаментальная идея о шестидесятеричном цикле, а не о его применении.
Рис. 2. Шестидесятеричный цикл (китайская система летоисчисления). Десять символов каждого первого столбца похожи; они представляют десять небесных корней. Двенадцать земных ветвей написаны во вторых столбцах, от 1 до 12, от 13 до 24, от 25 до 36, от 37 до 48, от 49 до 60. Каждая группа из двух иероглифов отличается от остальных
Любопытно сравнить китайский календарь с календарем майя. Они так независимы друг от друга, как будто развивались на разных планетах. Майя сочетали гражданский год (хааб), состоящий из 365 дней, с ритуальным периодом (цолькин), состоящим из 260 дней; сочетание давало «длинный год», или «связку лет», как они это называли, из 18 980 дней (= 52 хааб = 73 цолькин)[3].
Обычные китайцы не занимались такими размышлениями; им ба гуа и цзя цзы были такими же естественными, как времена года или фазы Луны, однако привычка к численным категориям у них глубоко укоренилась. Некоторое желание объединять вещи попарно, по три и так далее существует у каждого (оно выражает инстинктивное стремление к порядку и симметрии, основополагающее не только для науки, но и для искусства), но китайцы позволили своему стремлению развиваться свободнее, чем другие народы. Таким образом, им знакомо большее количество разрядов, чем, скажем, для нас четыре основные точки; они группируют по 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 17, 18, 24, 28, 32, 72, 100. У.Ф. Майерс перечислил 317 таких групп, и я уверен, что его список можно продолжить. Конечно, многие из этих групп более позднего происхождения; другие будут добавлены в будущем, но первоначальный замысел почти так же древен, как и сама китайская цивилизация.
Мы очень близко подошли к математике, но затем нас отнесло в сторону. Должно быть, в прошлом подобное происходило много раз; то же самое происходит уже с нами. Любую научную идею можно исказить – и она часто искажается; здесь ничего не поделаешь. Любое орудие можно использовать как с добрыми, так и с дурными целями.
Возвращаемся от фантазии к реальности; возможно, своим развитием арифметика обязана тому, что наши предки не останавливались на небольших и знакомых категориях. Им приходилось многое считать, в том числе сравнительно большие количества. Вождь племени, который, что вполне естественно, хотел оценить свои запасы, задавался вопросом, сколько у него воинов, сколько лошадей, овец и коз. Короче говоря, требовалась перепись, и, даже если племя было маленьким, такая перепись быстро приводила к числам, превышающим количество пальцев на руках. Как же вождь справлялся с задачей? В своем замечательном рассказе о переписи, которую проводил раджа Ломбока (острова к востоку от Бали), А.Р. Уоллес подробно останавливается на возникших неизбежных математических затруднениях. В результате раджа приказал производить подсчеты с помощью многочисленных связок стрел. Как он считал стрелы? Помним, что группирование – основа счета. Каждый язык демонстрирует наличие, как выражаются математики, основания системы счисления. Таким основанием часто бывала пятерка (у многих американских племен), иногда 20 (у майя), но чаще всего 10. Одни основания системы счисления были популярнее других, потому что почти каждый первобытный человек пользовался одним и тем же калькулятором: пальцами рук и ног. Если он ограничивался пальцами одной руки (или ноги), основанием служила пятерка; если он пользовался обеими руками (или ногами), основанием служил десяток. Если учитывались все пальцы на руках и ногах, за основание принималось число 20. Счет по пальцам ног был вполне естественным для теплых стран, где люди ходили босиком. Во многих языках, например в греческом, латыни и арабском, пальцы на руках и на ногах называются одним словом; если требуется уточнение, последние называются «пальцами ног». Как говорится, добродетель посередине. Народы, чьим культурным шаблонам суждено было доминировать над остальными, бессознательно сошлись на использовании десятков. Откуда нам известны основания систем счисления первобытных людей? Следы без труда можно отыскать в языках, пусть даже наша десятеричная система явно представлена нашими числительными. Более того, отчасти благодаря самим словам понадобилось и было инстинктивно создано основание системы счисления. Основание делает возможным в случае необходимости периодически использовать одни и те же слова, с небольшими изменениями; без него потребовалось бы бесконечное множество слов. Так, во многих европейских языках, для того чтобы вслух досчитать до ста, требуется 19 слов: «один», «два»… «десять»; «двадцать»… «девяносто»; «сто». Необходимо помнить несколько вариаций для второго десятка: «одиннадцать», «двенадцать», «тринадцать»… «девятнадцать». Для того чтобы досчитать до 999 999, необходимо добавить всего еще одно слово: «тысяча».
Стихийное стремление ведущих держав к десятеричной системе счисления прекрасно, но, в конечном счете, намного прекраснее чудесная симметрия каждого языка. Подобные вещи поражают воображение! Чем объяснить бессознательное параллельное развитие таких сложных структур – и не в одном месте, а повсюду, где развивается человек? Каждый язык демонстрирует не идеальную симметрию, подобную симметрии геометрического чертежа, но симметрию во многом несовершенную, подобную дереву или красивому телу – живую симметрию.
Как подсчитывались результаты первобытной переписи? Допустим, что каждый считаемый предмет представлен прутиком и что принято десятеричное основание системы счисления.
Делаются пучки по десять прутиков в каждом; общее число прутиков в десять раз превышает количество пучков. Если пучков оказывалось слишком много, человеку, производившему подсчеты, возможно, и пришло бы на ум заменять каждый пучок более длинным прутиком, своего рода «суперпрутиком», и составлять из них новые «суперпучки» по десять пучков в каждом. Если бы подсчитывающий обладал математическим умом и пошел на такой шаг, он мог повторять операцию по мере необходимости. Признав десятки, он мог признать сотни, тысячи, десятки тысяч и так далее, создавая для новых понятий новые слова, а также новые символы. Не забывайте, что количество новых необходимых слов (или символов) стремительно сокращается. Скорее всего, прошло очень много времени, прежде чем для подсчетов понадобилось слово «миллион», и мы сейчас лишь начинаем с известной частотой применять слово «миллиард».
То, что мы называем основными арифметическими действиями (сложение, вычитание, умножение и деление), возникло естественно, если не эксплицитно, из самого процесса перечисления и распределения совокупностей. Идея вычитания также возникла в случаях, когда числа немного меньше круглых и легче подойти к ним сверху, чем снизу, сказать, например, что предметов на 2 меньше, чем 20, а не 18, на 1 меньше 100, чем 99, на 300 меньше 10 000, чем 9700. Доказательствами служат слова (сотворенные народом!) duo-deviginti («без двух двадцать») и undecentum («без одного сто», «один до ста») в латыни, а также triacoston apodeonta myria в греческом; они обозначают соответственно 18, 99, 9700.
Мы допускали, что первые подсчеты производились при помощи прутиков и других предметов, например камушков (calculi на латыни, отсюда «калькуляция», «калькулятор» и т. д.). Кроме того, подсчеты производились при помощи узлов на веревках или зарубок на палочках. Естественно, одни и те же периоды возникали вновь и вновь. Человек, который, пусть и бессознательно, мыслил десятеричным ритмом, делал зарубку подлиннее для десятка и еще длиннее – для сотни; цифры, которые приближались к более длинным зарубкам, легче можно было понять при помощи вычитания из этих зарубок.
Понятия ритма и шаблона появились по необходимости, когда пришлось вести более осязаемый счет в процессе создания орнаментов и украшений. Самые простые измерения, которые требовались при сооружении алтаря или строительстве дома, возможно, вызвали к жизни первые геометрические представления, ибо для того, чтобы красиво украсить различные предметы или тело, требовались не только отдельные измерения, но и полный их спектр плюс по возможности много симметричных и периодических комбинаций декоративных элементов. Лучшей учительницей стала мать-природа; бесконечные узоры, которые можно наблюдать, например, в деревьях, листьях, цветах, у птиц, змей и т. д., становились источником вдохновения для людей, развивших в себе любовь к прекрасному. Некоторые дошедшие до нас рисунки времен палеолита выполнены подлинными художниками. Узоры на керамике и тканях, которые можно видеть в антропологических музеях, доказывают живость воображения и изобретательность наших предков. Ремесленники были способны не только создавать чрезвычайно сложные узоры. Они виртуозно вносили в них изменения; им хватало тонкости осознать ценность небольших отклонений. При создании любой художественной композиции требуется решение, пусть и приблизительное, многочисленных геометрических задач.
Измерить расстояние и разделить его было достаточно легко, скажем, при помощи веревки, которую можно сложить вдвое, вчетверо и т. д. Сложнее было оценить относительное расстояние между звездами знакомого созвездия или изменение расстояния до движущегося небесного тела (планеты), которое приближалось к чему-то неподвижному. Скорее всего, первые «ученые» измеряли эти расстояния тоже с помощью веревок. В таком случае они вскоре наверняка заметили, что расстояние, которое требовалось измерить, уменьшалось, если поднести веревку ближе к глазам. Наконец, какому-то доисторическому Ньютону пришло в голову, что астрономические расстояния – не линейные, а угловые. Понятие угла стало геометрическим и астрономическим изобретением фундаментальной значимости.
Недостаточно произвести измерения; их необходимо выразить, что подразумевало выбор единиц. Недостаточно выбрать единицы; необходимо их сохранить. Сохранение стандартных единиц стало, наверное, одним из первых шагов в научной организации, хотя, естественно, процесс шел так же бессознательно, как и прочие первые шаги. Похоже, почти каждый народ предпочитал в качестве единиц измерения части человеческого тела (локоть, стопу, пядь и т. д.). Наши предки прекрасно понимали, что единиц измерения нужно много: мелкие – для малых расстояний, побольше – для более длинных расстояний и так далее. При этом они не пытались установить устойчивые отношения между этими единицами. Их не стоит винить, скромно помня о том, что и высокоцивилизованные народы наших дней еще не осознали такой потребности.
Доисторическая астрономия
Мы не случайно заговорили о звездах. Для любого мыслящего человека невозможно было наблюдать за ними ночь за ночью и не задаваться рядом вопросов, глубоко научных по своей сути. Первобытные люди, особенно те, кто в силу теплого климата ночевали под открытым небом, в течение года не могли не замечать сдвиги во времени заката и рассвета, фазы Луны, регулярное смещение Луны влево (в Северном полушарии), изменение положения звезд на разной высоте, сезонное появление и исчезновение созвездий, более сложные траектории движения утренней и вечерней звезды и других планет. Они разными способами познавали процесс течения времени, поскольку не могли не замечать чередования дня и ночи, фаз Луны, смену времен года и лет. Они составляли для себя календари, в которых на основе прошлого опыта предсказывались те или иные события. Их календари основывались на метеорологических наблюдениях, на лунном или солнечном цикле или на сочетании некоторых явлений. Такие календари можно было совершенствовать, так как наблюдения, легшие в их основу, повторялись и уточнялись.
Продолжать перечисление нет нужды. Ясно, что по меньшей мере немногие привилегированные народы, которым больше повезло с климатом, местоположением или развитым мышлением, накопили солидный багаж знаний еще до изобретения письма. В некоторых местах доисторические знания были настолько обширными и разнообразными, что полный их перечень, если бы можно было его воссоздать, занял бы значительное место.
Теоретическая наука
Некоторые читатели возразят: каким бы тогда ни было знание, оно являлось чисто практическим, эмпирическим, слишком грубым и несовершенным, чтобы считаться наукой. Почему не следует называть тогдашние знания наукой? Это была очень слабая, очень несовершенная, однако способная к совершенствованию наука; наука в наше время определенно глубже и богаче, однако для нее характерны те же общие черты. Наука в наши дни весьма несовершенна, однако способна к совершенствованию. Можно сказать и по-другому: тогда теоретической науки не было. Почему? Насколько «чистой», теоретической должна быть наука, чтобы заслужить такой эпитет? Если теоретическая наука – это непредубежденная наука, знания, приобретенные ради самих себя, без намека на их непосредственное применение, конечно, первые астрономы были или могли быть настолько же «теоретиками», насколько теоретики астрономы нашего времени. Возможно, в ту эпоху уже возникли астрологические фантазии, но равно возможно, что их тогда еще не было, потому что они подразумевали бы некоторую степень искушенности, какой тогдашние астрономы еще не достигли. Главной причиной наблюдения за странным поведением некоторых планет могло стать простое любопытство.
Любопытство – одна из наиболее сильных сторон человека, и оно гораздо древнее самого человечества. Возможно, именно оно становилось главной движущей силой научного познания в прошлом – как и в наши дни. Необходимость называют матерью изобретений, техники и технологии, но матерью науки было любопытство. Возможно, мотивы первобытных ученых (в противовес мотивам первобытных техников и шаманов) не очень отличались от мотивов наших современников: они значительно разнились от человека к человеку, от одного времени к другому. В доисторические времена они, как и сейчас, охватывали весь спектр, от совершенно бескорыстного, отчаянного любопытства и духа авантюризма до личных амбиций, тщеславия и алчности.
Если бы исследования с самого начала не вдохновлялись своеобразным бескорыстным авантюризмом, а также тем, что враги науки позже заклеймят опрометчивостью и нечестивостью, научный прогресс шел бы заметно медленнее. О сумме знаний, приобретенных некоторыми первобытными людьми, свидетельствуют данные антропологов, а также поддающиеся анализу достижения древнейших цивилизаций. Оказывается, выйдя на историческую сцену, человек уже овладел многими искусствами, ремеслами, а также практическими знаниями и умениями.
Тогда, как и в наши дни, истинный ученый, как и истинный художник, скорее всего, был или казался немного странным и скрытным; весьма вероятно, что его более практичные соседи уже тогда подшучивали над его рассеянностью. Конечно, ученые и художники не более рассеянны, чем их соседи, просто они сосредоточены на другом. Древний ученый был поглощен собственными размышлениями; его мотивы были менее осязаемыми, его жизнь казалась таинственной. Одни желали славы и признания, другие, вероятно, уже поняли, что слава тщетна и лучше к ней не стремиться. Будь первобытный изобретатель эгоистичным и завистливым, он предпочел бы оставить свою новую идею – скажем, лучший крюк, лучший топор, лучшие материалы для изготовления орудий – при себе, в пределах своей семьи. Почти в каждом случае ученый или изобретатель тяготел к сдержанности. Научный прогресс всегда сопряжен с психологическими и социальными случайностями.
Иногда первобытное изобретательство не только развивалось втайне, но и противоречило общепринятым традициям и обычаям, ниспровергало их. Каждое изобретение, каким бы полезным оно ни оказывалось (а оно не может считаться полезным, пока им не начнут пользоваться), ставит в тупик, смущает. Чем оно важнее, тем больше оно смущает. В первобытные времена, как и сейчас, существовали заинтересованные круги, хотя их существование было, скорее всего, не столь очевидным. Тогда, как и сейчас, прогресс тормозила инерция, для которой свойственны сила привычки и самоуспокоенность, а также недоверие и презрение ко всему новому или чужеродному.
Однако такая инерция – не просто препятствие, но необходимость, как маховик или тормоз. Ее задача – придавать устойчивость и оправдывать вторжение человека в неизведанное. Сопротивление новым орудиям или новомодным идеям было полезным, потому что новшества следовало тщательно проверить перед тем, как принимать их. Каждое принятое орудие было плодом очень долгого процесса проб и ошибок, очень долгой борьбы между изобретателями, новаторами, реформаторами, с одной стороны, и консерваторами – с другой. Последние были гораздо более многочисленными; зато первых можно считать более воодушевленными и напористыми.