Джордж Сартон
История античной науки. Открытия великих ученых и мыслителей древности

Математические традиции

В предыдущих главах уже приводились примеры сохранения до-гомеровских научных идей – там, где это показалось уместным. В этом и следующем разделах мы постараемся свести все подобные примеры воедино, независимо от того, приводились они уже или нет, но вначале распределим их по темам. Хотя некоторые из примеров сравнительно поздние, это не имеет значения: если древнеегипетские идеи сохранились, скажем, в эпоху эллинизма, они должны были существовать в латентном виде весь промежуточный период, каким бы долгим он ни был. То же самое можно сказать и о письменных идеях. Их могли на время забыть, то есть папирус или табличка, на которых они записаны, были утрачены и много веков лежали, скажем, в гробнице. Затем их обнаружили, и они возродились. Однако самые древние традиции по большей части были устными, а устные традиции, если они не умирают, вовсе не прерываются.

Независимо от того, живет ли и циркулирует древняя традиция среди людей постоянно или исчезает на какое-то время, а спустя много веков появляется вновь, заслуга принадлежит первооткрывателям. Многие древние идеи сгинули в тишине и мраке; они перенесли превратности «темных веков» подобно тому, как покрытые прочной оболочкой споры переносят неблагоприятные для них времена года. Затем они появились вновь, возродившись в творениях Гомера, Гесиода, афоризмах, которые приписывают ионическим философам, – или еще позже.

Когда древнеегипетская идея находит выражение в греческой книге, следует предположить, что греки открыли ее заново или ее им передавали, регулярно или нерегулярно, в открытую и тайно. И если даже такая идея не выражена, нельзя однозначно заявить, что ее не существовало или она не была передана. Доводы, почерпнутые из умолчания, всегда слабы и часто ничего не стоят. Доводов такого рода следует избегать, хотя ими пользовался даже И.Г. Цейтен, заметивший, что, раз не существовало египетских памятников в форме пятиугольника или десятиугольника, египетская геометрия едва ли была высокоразвитой. Вполне вероятно, что египтяне действительно не строили пятиугольники, так как для этого требовалась высокая степень геометрической изощренности. Подобные построения подразумевали знание так называемого золотого сечения или золотой пропорции, деления в крайнем и среднем отношении. Однако то, что древние египтяне не создавали памятников в виде пятиугольника, вовсе не доказывает их невежества. И наоборот, памятники в виде пятиугольника не свидетельствуют о высоком уровне знаний. В самом деле, достаточно легко разделить круг на пять равных частей, не обладая вообще никакими геометрическими познаниями. Можно добавить, что орнаменты с участием пятиугольников встречаются в микенском искусстве, что в Монте-Лоффа близ Падуи нашли правильный додекаэдр этрусского происхождения и что ученым удалось обнаружить не менее 26 предметов в форме додекаэдра кельтского происхождения. Короче говоря, сложные геометрические узоры можно рисовать, и не обладая глубокими познаниями в геометрии. Отсутствие таких узоров доказывает лишь отсутствие интереса к ним. Возможно, древние геометры играли с кусочками дерева в форме правильных треугольников и квадратов и строили из них пространственные углы. Сочетание таких пространственных углов привело их к созданию правильных многогранников (за исключением додекаэдра). Основа пространственного угла, состоящая из пяти правильных треугольников, естественно, была бы правильным пятиугольником. Четыре пространственных пятиугольных угла, соединенные вместе, дали бы правильный додекаэдр.

Существуют вавилонские призмы на пятиугольной и даже семиугольной основе, но из-за этого мы не думаем приписывать вавилонским геометрам знание геометрической конструкции таких основ. Возможно, первый трактат о построении правильного семиугольника – это утерянный трактат Архимеда (III – 2 до н. э.), сохранившийся в арабской версии Сабита ибн Курры (IX – 2).

Египетская арифметика. Выше мы объяснили, что египтяне предпочитали так называемые аликвотные дроби, в которых числитель был равен 1; прочие дроби выражались посредством первых. Дроби такого более простого и предпочитаемого типа, например, ¹/₇₂, назывались «часть 72». Греки представляли себе такие дроби так же просто; ¹/₇₂ записывалась oβ' или oβ'' (как если бы мы писали 72''). У египтян имелись отдельные знаки для ¹/₂ и ²/₃; то же наблюдается и у греков. Едва ли это совпадения. Более того, египетские следы можно разглядеть в греческой математике вплоть до начала Средневековья.

По мнению Пселла (XI – 2) – хотя, не скрою, он поздний свидетель – Анатолий и Диофант, жившие в Александрии в одно и то же время (III – 2), написали пособия по египетской системе вычислений. Два поздних математических папируса, «Мичиганский папирус» № 621 IV в. и «Ахмимский папирус» VI или VII в., а также коптский черепок (острак) из Вади-Сарга (близ Асьюта), относящийся к тому же периоду, содержат явные примеры египетских подсчетов. Более того, Птолемей (II – 1) и даже Прокл Диадох (V – 2), самый яркий философ и учитель своего времени и один из последних руководителей платоновской Академии, по-прежнему записывали дроби на египетский манер. Например, Прокл изображал ²³/₂₅ в виде ¹/₂ ¹/₃ ¹/₁₅ ¹/₅₀.

Минойская арифметика. Наши знания о минойской математике очень ограниченны, потому что минойские надписи по сей день не расшифрованы. Однако цифры, написанные на многих табличках, удалось интерпретировать. Минойские цифры отличались от египетских, однако система счисления была определенно египетской. Обе системы были десятеричными, но минойские знаки остановились на тысячах или десятках тысяч, в то время как египтяне дошли до миллионов. Самой любопытной чертой минойских расчетов стала система процентов, поскольку суммы, упоминаемые на многих табличках, располагались так, чтобы в результате составить 100. Например, на одной табличке две суммы верхнего ряда 57 + 23 равны 80; в нижнем ряду находим 20 со знаком «трона». Означает ли это, что царская доля составляла 20 %? Судя по всему, критяне разработали сложную систему регистрации и ведения счетов; к расчетам они относились так же деловито и трепетно, как мы (рис. 29 и 30).

Рис. 29. Минойская арифметика: таблицы вычисления процентов

Рис. 30. Минойская арифметика: пример знаков сложения

Расшифровка минойского письма, возможно, даст нам больше сведений об их математических или научных идеях, независимо от того, оригинальны они или заимствованы у египтян. Во всяком случае, египетские представления могли достичь (и достигли) Греции также и по другим каналам.

Египетская геометрия. Изобретение геометрии и ее передача в Грецию объяснялись Геродотом часто цитируемыми словами: «Этот царь, как передавали жрецы, также разделил землю между всеми жителями и дал каждому по квадратному участку равной величины. От этого царь стал получать доходы, повелев взимать ежегодно поземельную подать. Если река отрывала у кого-нибудь часть его участка, то владелец мог прийти и объявить царю о случившемся. А царь посылал людей удостовериться в этом и измерить, насколько уменьшился участок, для того чтобы владелец уплачивал подать соразмерно величине оставшегося надела. Мне думается, что при этом-то и было изобретено землемерное искусство и затем перенесено в Элладу. Ведь „полос“ и „гномон“, так же как и деление дня на 12 частей, эллины заимствовали от вавилонян»^[10].

Конечно, геометрию изобрели не только в Египте, но и в других местах, так как вскоре каждый цивилизованный народ осознал свою потребность в ней. Египетская версия вполне правдоподобна; ее повторили Страбон (I – 2 до н. э.) и Прокл (V – 2). Сократ в «Федре» делает более общее заявление: «Так вот, я слышал, что близ египетского Навкратиса родился один из древних тамошних богов, которому посвящена птица, называемая ибисом. А самому божеству имя было Тевт (Тот. – Авт.). Он первый изобрел число, счет, геометрию, астрономию, вдобавок игру в шашки и в кости, а также и письмена».

Далее Сократ объясняет, что самое важное из этих изобретений – изобретение grammata, то есть письма. И сказал Тот египетскому фараону: «Эта наука, царь, сделает египтян более мудрыми и памятливыми, так как найдено средство для памяти и мудрости»^[11]. Однако фараон не поверил и боялся, что изобретение письма повредит память, а не улучшит ее и люди будут читать, не понимая. Вот один из первых критических доводов на ученость и мудрость. Подобная критика время от времени повторялась при внедрении всех крупных новшеств.

Упоминания о том, что математику и физику придумали древние египтяне, встречаются во многих фрагментах произведений ионических философов. Мы еще к ним вернемся, когда будем говорить о каждом из них. Египет в целом считался древнегреческими писателями колыбелью науки. Греки, обладавшие интеллектуальными амбициями, старались посетить Египет и провести там как можно больше времени, беседуя с учеными и жрецами. Возможно, их постигало разочарование, потому что их надежды оказывались напрасными и потому что жрецы не могли или не хотели передавать знания неверным и варварам. Тем не менее греческие путешественники что-то узнавали, их замыслы конкретизировались и оттачивались. Что ученик получает от учителя? Главным образом вдохновение и подсказки; настоящие знания каждый человек должен завоевать для себя сам. Что же касается собственно мудрости, если в человеке ее нет, откуда она возьмется?

Самая любопытная отсылка на египетскую математику принадлежит Демокриту Абдерскому (V в. до н. э.). К сожалению, его слова переданы в интерпретации очень позднего комментатора, одного из отцов церкви Климента Александрийского (155–220). В передаче Климента Демокрит объявил: «Из всех моих современников я объездил наибольшее количество стран, быв у самых древних народов с целью изучения преданий их. Видел я весьма много сфер воздушных и земных, слушал речи весьма многих ученых людей. Никто со мной не может сравниться в искусстве оплоты ставить (изыскивать доказательства) и разрешать разные проблемы, никто даже из египтян, называемых гарпедонаптами. В качестве гостя в течение восьмидесяти лет я обращался со всеми этими мудрецами»^[12].

Кто были эти гарпедонапты, или «растягиватели веревок»? Были они землемерами или архитекторами? Выдвигалось предположение, что они умели проводить перпендикулярные линии на земле при помощи веревки, разделенной четырьмя узлами в пропорции 3, 4, 5. Такое вполне возможно, однако доказательств у нас нет. Вероятнее всего, гарпедонапты были землемерами; в их обязанность входило следить за правильной ориентацией зданий, чему древние египтяне придавали глубокое религиозное значение. Церемония «растягивания веревки» (египетский термин) относилась к астрономии и связана с построением оси храма вдоль меридиана. Один жрец или чиновник наблюдал за положением Полярной звезды с помощью расщепленной палки; второй стоял перед ним с отвесом и перемещался до тех пор, пока линия отвеса и звезда не совмещались. Затем каждый чертил зарубку на земле; между зарубками растягивалась веревка, символизировавшая меридиан. Возможно, потом к ней проводился перпендикуляр по линии восток-запад – при помощи веревки с узлами, как предполагается выше, или как-то по-другому. Видимо, «растягивателей веревок» приглашали во время строительства больших зданий или других архитектурных сооружений. Те же землемеры, возможно, перемеряли границы земельных участков после наводнений. Примечательно, что больше о них в греческой литературе нет ни слова.

Рис. 31. Допустим, требуется провести перпендикуляр к меридиану в точке О. Отложим на меридиане отрезок ОА = ОВ, затем возьмем более длинную веревку, чем АВ, и разделим ее на две равные части при помощи узла в точке С. Веревка закреплена в точках А и В, а затем узел С отодвигается как можно дальше на восток; линия ОС будет перпендикуляром. Это было очевидно египтянам благодаря их интуитивному пониманию симметрии. Для проверки операцию повторяли в западном направлении; ОС и OD будут коллинеарны. Коллинеарность легко проверить при помощи трех стоек или отвесов

Вавилонская математика. Говорить о долговечности древнеегипетской математики сравнительно легко, потому что другой не было. В дошедших до нас документах более позднего времени лишь повторяются античные документы. Ситуация с Вавилоном совершенно иная; в последние два или три дохристианских столетия там наблюдалось великое математическое и астрономическое возрождение. Халдейские математики позднего периода не отвергли древние идеи, а развили их настолько, что создали новые отправные точки. Математики, повлиявшие на таких греческих авторов, как Гипсикл (II – 2 до н. э.) и Гемин (I – 1 до н. э.), определенно были халдеями. Правда, Герои Александрийский (I – 2) мог унаследовать более древние геометрические представления, однако его пример лучше рассматривать отдельно.

Что касается алгебры, отчасти халдейские познания могли передаться Гиппарху (II – 2 до н. э.), а кое-что дошло до Герона Александрийского (I – 2) и Диофанта (III – 2), но изобретения Архимеда (III – 2 до н. э.), вероятно, были его собственными. Пытаясь объяснить, почему вавилонские идеи передались Герону и Диофанту, но остались не замеченными другими греческими математиками, сразу же понимаешь, насколько мало нам известно об античных математических традициях. Мы располагаем лишь несколькими проблесками. Может быть, следует взглянуть на чудо с другой стороны? В самом деле, разве не чудо, что столько античных математиков, которые могли интересовать совсем немногих, оказались сохранены для нас?

Шестидесятеричная система счисления восходит к глубокой древности; и, хотя греки, возможно, получили ее от халдеев, можно считать греческую традицию отдаленным продолжением шумерской. Так, Птолемей делил окружность на 360 градусов, а час – на 60 частей. И разделение экватора на 360 градусов, сравнимое с делением дня на 360 геш, очень древнее. Зато деление эклиптики на 360 градусов относится уже ко временам Архимеда.

Греки унаследовали шестидесятеричную систему от шумеров, но совместили ее с десятеричной системой, используя первую лишь для долей делителя, а последнюю – для кратных чисел. Таким образом, они испортили обе системы и положили начало досадному смешению, жертвами которого являемся все мы по сей день. Они пренебрегли позиционностью, которую через тысячу лет пришлось заново заимствовать из Индии… Судя по всему, они не слишком хорошо поняли вавилонскую арифметику, так как ухитрились сохранить ее худшие черты и не заметить лучшие. Должно быть, это объясняется не недостатком ума, а недостаточностью традиции. Кроме того, нельзя забывать, что ум – понятие всегда относительное. Греки пользовались своим умом по-другому и не видели простых вещей, которые были ясны как день для их далеких шумерских и вавилонских предшественников.

Астрономические традиции

Греки унаследовали древнеегипетские представления; воздействие на них Вавилона оказалось гораздо мощнее, хотя и произошло значительно позже. Насколько можно судить, догомеровская астрономия по большей части египетского происхождения. Однако вспомните теорию о пяти веках мира, очерченную Гесиодом (VIII в. до н. э.) в начале его «Трудов и дней»! Первый век, по его мнению, был божественным золотым веком; зло росло с каждым последующим веком до тех пор, пока не достигло максимума в его дни, и старый поэт горестно жаловался:

 
Если бы мог я не жить с поколением пятого века!
Раньше его умереть я хотел бы иль позже родиться.
Землю теперь населяют железные люди. Не будет
Им передышки ни ночью, ни днем от труда и от горя
И от несчастий. Заботы тяжелые боги дадут им^[13].
 

Слова поэта требуют пояснения. Почему Гесиод называет своих современников «железными людьми»? Железный век начался за много столетий до него, но знакомство с железом он считает некоей зловещей отправной точкой. Гесиод говорит о железном веке, как мы – о нашем веке, когда называем его «веком машин» или «веком пара и электричества». Далее, разве его описание первого века не напоминает шумерскую сказку о золотом веке человека, приведенную в предыдущей главе? Правда, одна и та же идея могла зародиться в разных местах независимо. Мысль о том, что все идет от плохого к худшему, не является неестественной для стариков, наблюдающих за собственным упадком; они чувствуют, что все меньше и меньше способны совладать с изменяющимся миром.

Искусство астрономических наблюдений было хорошо развито как в Египте, так и в Месопотамии; отдельные сведения или намеки могли попасть к обитателям Эгейского региона как с той, так и с другой стороны. Однако задачи, о которых идет речь, настолько естественны, а решения настолько хорошо определены, что повторное открытие одних и тех же методов возможно без непременного подражания – по крайней мере, осознанного подражания. Потомки получили от египтян наследство в основном в виде деканов, созвездий и звезд, имеющих отношение к каждому декану; то же самое можно получить в результате многовековых наблюдений. Можно вспомнить, что египтяне делили горизонт на 36 деканов; каждое подразделение соответствует одной трети того или иного знака зодиака. Деканические «сектора» соответствовали экватору, а зодиакальные «сектора» соответствовали эклиптике, но, поскольку протяженность по широте декад и зодиакальных знаков установлена неясно, созвездия и искусство наблюдения за связанными с ними звездами без труда переносятся из одной системы в другую.

Можно предположить, что некоторое знание вавилонских таблиц проникло и на Запад. Ну а календарь сопровождал египетских и вавилонских купцов повсюду, куда бы они ни направлялись. Древнегреческий календарь был лунным, однако до определенной степени учитывал и времена года. Единственный способ примирить лунный и солнечный циклы заключался в том, чтобы принимать во внимание общие кратные единицы. В этом греки брали пример с вавилонян; или же они могли воспользоваться вавилонским опытом.

Выше уже упоминалось о том, что вавилоняне также открыли синодические периоды Венеры и Меркурия; у них зародилась мысль о «великом годе», цикле в 36 тысяч лет. Эта мысль вновь возникнет в «Республике» Платона. Концепция сароса как периода в 3600 лет, возможно, также возникла в древности, но, когда употребляют слово «сарос», почти всегда имеют в виду более короткий период, о котором ни вавилоняне, ни греки не имели понятия до V или IV вв. до н. э. Слово «сарос», очевидно, не греческого происхождения; его произношение неясно, и оно впервые встречается в греческом тексте – «Истории Ассирии» Абидена – довольно поздно, примерно в начале нашей эры. В том тексте оно обозначает цикл 60 раз по 60 лет, или 3600 лет. Слово образовано от шумерского shar = 3600. Скорее всего, это вавилонское понятие перенес в греческий мир Берос (III – 1 до н. э.). Важно, что вавилоняне различали три периода, которые назывались (по греческой транскрипции) sōssos = 60 лет, nēros = 10 sōssoi, saros = 60 sōssoi; здесь снова можно заметить типичное смешение десятеричной и шестидесятеричной систем. Неправильное употребление слова «сарос» для обозначения 18-летнего периода появилось очень поздно, возможно, в 1691 г., и ввел его Э. Галлей!

Недоразумения, связанные с этой темой, настолько глубоки и устойчивы, что необходимо прояснить их раз и навсегда. Считалось, что древние вавилоняне открыли 18-летний период, в конце которого Солнце и Луна занимают те же позиции относительно друг друга, что и в его начале. Каждый сарос завершал цикл возможных относительных позиций; поэтому затмения, которые происходили в одном цикле, повторялись или, по крайней мере, могли повторяться во всех остальных. Однако в ранних вавилонских документах нет упоминания о таком саросе. Обнаружить этот период чрезвычайно трудно хотя бы уже потому, что он не охватывает целое количество дней и захватывает еще 8 часов. Для того чтобы дождаться затмений примерно в одно и то же время дня, период необходимо утроить; через 54 года видимые затмения возвращаются в большой степени в том же порядке. Если расположить видимые затмения рядом по 54 года или 18 лет, нетрудно установить существование сароса. Однако совсем другое дело – найти или открыть этот период. Если человеку, которому неизвестно о существовании такого периода, поручат вычислить на основании полного списка лунных затмений, например из «Канона затмений» Оппольцера, период, после которого они будут повторяться в том же порядке, он, безусловно, сочтет задачу очень трудной. Для древних же вавилонян, даже располагай они полными списками всех затмений, видных невооруженным глазом (что очень сомнительно), открытие сароса было делом не просто трудным, а невозможным.

Научная астрономия, под которой мы понимаем систему рациональных объяснений движения небесных тел, почти ничем не обязана древним вавилонянам и египтянам, кроме экспериментальных данных и, возможно, средств для получения новых данных. Стремление к таким объяснениям кажется типично греческим, и их выработка занимала умы греков многие века. Знания, которые некоторые греки, например Гипсикл (II – 1 до н. э.), Гемин (I – 1 до н. э.) и Диодор Сицилийский (I – 2 до н. э.), получили из Месопотамии, в расчет не принимаются, ибо это было позднее знание, после складывания эллинской астрономии. Научная астрономия была явлением греческим – или, возможно, поздневавилонским, халдейским.

«Научная астрология», ставшая такой популярной в последние века до н. э., была халдейской и египетской; кроме того, ее приняли греки. Она вобрала в себя, исказив, все рациональные и иррациональные знания, накопленные к тому времени. Своим успехом среди умных и образованных людей астрология обязана наукообразным формулировкам. В то же время мифы, которые она в себе заключает, и ее фантастическое ядро взывали к природной недалекости людей и их любви к чудесам. Суть астрологии стара как мир. Человеку всегда хотелось узнать будущее. Если же ему предсказывали несчастье, он, с достойной восхищения непоследовательностью, надеялся его избежать. Многие сказки основаны именно на этой теме: при рождении героя гадалка предсказывает, что он умрет вследствие того или иного несчастного случая; предпринимаются усилия, чтобы избежать именно такого несчастного случая; однако он происходит, и герой умирает, как и было предсказано.

Слова «халдейский» и «египетский» сохраняли налет оккультизма из-за того, что с ними принято связывать астрологию и прочие суеверия. Мы уже объясняли, что слово «халдейский» относится к поздней эпохе; слово «египетский» более многозначно, однако в оккультном смысле оно относится скорее не к Древнему Египту, а к Египту эпохи Птолемеев. Именно в эпоху Птолемеев (которая примерно совпадала с халдейской) были впервые разработаны и ясно выражены астрологические идеи, которые дошли до нас на греческом, латыни, арабском – и почти на всех языках. «Египетские дни», которые часто цитируются в средневековых сочинениях, например, у Аннана Александрийского (XIII – 2?), обозначают просто «зловещие дни» (dies mali) той эпохи. Конечно, «несчастливые дни» встречаются во все времена, как «пятница, 13-е» в наши дни.

Астрология эпохи Птолемеев во многом имела халдейское происхождение, однако она заключала в себе древневавилонские и древнеегипетские знания, смешанные с греческой астрономией. Наличие такого астрологического мировоззрения, которое получило широкое распространение в поздней Античности и в Средние века и не до конца исчезло и сегодня, доказывает, что в «темные века» сохранились некоторые астрономические идеи незапамятной древности.