Рудольф Баландин
100 великих парадоксов

Парадокс кучи

Его предложил (или первым сформулировал) Евбулид.

Песчинка не может являться кучей – это очевидно. Куча является некоторым количеством песчинок (вещей, предметов). Две частички также нельзя назвать кучей. Куча – это совокупность нескольких объектов и значительно больше двух.

Добавляя по одной песчинке, когда мы получим кучу песка?

Если несколько песчинок, которые не образуют кучу, ничего существенно не изменится, если к ним прибавить ещё одну песчинку. Затем к этой группе добавим ещё одну песчинку, и снова ничего, по сути, не изменится.

Так можно продолжать сколь угодно долго. Когда же настанет тот момент, когда добавление одной песчинки создаст то, что называют кучей песка?

Добавление одной частицы к совокупности, кучей не являющейся, несущественно для образования кучи. Если принять эту предпосылку, никакая совокупность из сколь угодно большого количества песчинок не будет называться кучей, что противоречит бесспорному представлению о существовании кучи песка.

Н.И. Калиниченко постарался доказать, что никакого парадокса «кучи» нет: «Витая в заоблачных высотах формалистики, учёные не видят, что все их научные, предельно абстрагированные и точные понятия и представления взяты из естественного языка, но лишены своих исконных значений и снабжены чисто субъективными определениями, содержащими пределы осведомлённости их авторов. Именно поэтому куча оказалась нечётким множеством, которое изучает целая теория нечётких множеств, а вся современная наука, состоящая из определений, субъективна.

…Даже математик догадается, что куча – это трёхмерное образование. А он ведь знает, что для изображения трёхмерного образования в пространстве нужно не менее четырёх точек, не лежащих в одной плоскости. То есть в принципе математик может сообразить, что и мириады зёрен или камней могут не образовать кучи, если их расстелить тонюсеньким слоем. Но если из четырёх камней или зёрен сложить пирамидку, то это уже будет куча. И что же здесь нечётко? И в чём здесь парадокс?»

Когда же совокупность песчинок превращается в кучу?

Данный автор предлагает своё чёткое определение «кучи». Хотя суть парадокса именно в неопределённости. Пирамидку из четырёх песчинок никто не назовёт кучей. С таким же успехом можно условиться называть кучей груду из более 1934 песчинок.

В том-то и проблема, что речь идёт о совокупности объектов, которых нельзя точно сосчитать. В противном случае так и скажут, например, – «пять песчинок». Будет их немного больше, скажут – «несколько».

Куча предполагает, что эти «несколько» образуют нечто подобное горке, бесформенную груду предметов. Именно неопределённость термина приводит к парадоксу.

Британский философ, логик, академик Тимоти Уильямсон весьма обстоятельно изложил суть вопроса: «Не было бы никаких проблем, если бы у нас было понятное, точное определение слова “куча”. Беда в том, что у нас нет такого определения. Значение слова “куча” является неясным. Нет чёткой разницы между соединёнными песчинками и песчинками, не образующими единства. По большому счёту это не имеет значения. Мы достаточно хорошо справляемся, используя слово “куча” на основе случайных впечатлений. Но если местный совет призывает вас к ответственности за сброс кучи песка в общественном месте, а вы отрицаете, что это была куча, и вас заставляют заплатить большой штраф, то исход дела может зависеть от значения слова “куча”.

Более важные правовые и нравственные вопросы также связаны с неопределённостью. Например, в процессе развития человека от зачатия до рождения и зрелости, когда появляется личность? В процессе смерти мозга, когда человек перестаёт существовать? Эти вопросы имеют большое значение для дозволенности медицинского вмешательства, таких как аборт и выключение жизнеобеспечения. Для того чтобы рассуждать о них должным образом, мы должны уметь правильно говорить о таких неопределённых словах, как человек.

Такие парадоксы кажутся тривиальными словесными фокусами. Но чем более строго философы изучали их, тем глубже и сложнее они казались. Такие парадоксы вызывают сомнения относительно базовых логических принципов».

Проще всего считать утверждение либо истинным, либо ложным (бивалентным), по принципу «да» или «нет». Нечёткая логика предполагает возможность разной степени ложности или истинности. Например, как в замечательной сказке Алексея Толстого «Золотой ключик, или Приключения Буратино»:

Сова приложила ухо к груди Буратино.

– Пациент скорее мёртв, чем жив, – прошептала она и отвернула голову назад на сто восемьдесят градусов.

Жаба долго мяла влажной лапой Буратино. Раздумывая, глядела выпученными глазами сразу в разные стороны. Прошлепала большим ртом:

– Пациент скорее жив, чем мёртв…

Народный лекарь Богомол сухими, как травинки, руками начал дотрагиваться до Буратино.

– Одно из двух, – прошелестел он, – или пациент жив, или он умер. Если он жив – он останется жив или он не останется жив. Если он мёртв – его можно оживить или нельзя оживить.

Как видим, народный лекарь был приверженцем классической бивалентной логики. Однако продолжим цитировать Тимоти Уильямсона: «Есть много других сложных предложений по пересмотру логики для согласования с неопределённостью. Моё личное мнение таково, что все они пытаются исправить что-то, что на самом деле было сломано. Стандартная логика с бивалентностью и исключённым средним хорошо проверена, проста и мощна. Неопределённость – это не проблема логики. Утверждение может быть правдой – без вашего понимания того, что это правда. На самом деле есть стадия, когда у вас имеется куча, вы вытаскиваете из неё песчинку – и вот уже кучи нет. Беда в том, что у вас нет никакого способа распознавания этой стадии, момента, когда она наступает, так как вы не знаете, в какой именно момент это происходит.

Такое неопределённое слово, как “куча”, используется настолько свободно, что любая попытка найти его точные границы не находит твёрдого и надёжного основания, которое позволило бы идти дальше. Несмотря на то, что язык – это человеческий конструкт, это не делает его прозрачным для нас. Подобно детям, которых мы рождаем, значения, которые мы создаём, могут иметь секреты от нас. К счастью, не всё держится от нас в тайне. Часто мы знаем, что есть куча, часто мы знаем, что не одна. Иногда мы не знаем, есть она или нет. Но никто никогда не давал нам право знать всё».

Насколько я понял, есть не только неопределённость терминов, но и неопределённость знаний. А знать нам хотелось бы всё, что можно узнать. Но меня удивляет многословие почтенного учёного. И то, что куча не одна, возможно, следует понимать как тонкий английский юмор с тонким душком…

Из многих толкований данного парадокса наиболее очевидное таково. Концепция кучи является нечёткой; нет определённого числа, которое бы обозначало отличие между кучами и не кучами. Несколько песчинок или горсть песка никто не назовёт кучей, а небольшую группу песчинок обычно определяют понятием «несколько».

Когда речь идёт о достаточно большом количестве песчинок (многих тысячах), одна песчинка слишком ничтожна, чтобы служить критерием перехода, скажем, от горсти песка к куче.

Возникает проблема, которую, если я не ошибаюсь, не заметили логики, математики, философы. Это проблема переходной зоны. Там, где речь идёт о большом количестве частиц (объектов), одна или две, три теряются в общей массе. Есть смысл выделять некоторое количество (приблизительно), зависящее от общего числа, добавление которого существенно повлияет на то, возникнет ли куча.

Продолжим обсуждение в следующем очерке.

Лысый

По-видимому, Евбулиду принадлежит «парадокс лысого» – негативный вариант «парадокса кучи»: «Если волосы с головы выпадают по одному, с какого момента человек становится лысым?»

У людей в среднем приблизительно 100 000 волос на голове. Если человек ежедневно будет терять по волосинке, а новые волосы не вырастут, когда он полысеет?

Бесспорный ответ невозможен по трём причинам.

• Нет точного определения, кого следует считать лысым. Если иметь в виду того, у кого мало волос на голове, то надо определить, какое количество волос предполагает слово «мало».

• Лысины бывают разными. Когда у человека, например, лысая верхняя часть черепа или проплешина на затылке, в остальном у него может быть больше волос, чем у того, на голове которого волосы распространены равномерно, но редко.

Когда лысина становится лысиной?

• Нет критерия, по которому можно точно сказать, что человек, у которого волос на голове меньше данного числа, является лысым.

Учитывая всё это, хочется сразу сделать вывод, что задача неразрешима. Ситуация парадоксальная. Человек с густой шевелюрой утратил один волос. Шевелюра осталась. На другой день у него стало ещё на один волос меньше, хотя шевелюра сохранилась. Так можно продолжать изо дня в день. Но ведь когда-то должен наступить момент появления лысины?

Выходит, если сразу выпадет клок волос, лысина образуется, а если будет выпадать по волоску в день, она не появится? Или, точнее, она появится неизвестно в какой день.

Можно прийти к соглашению, что следует считать лысиной. От этого ничего принципиально не изменится, ибо точного числа волос на голове у лысого человека назвать невозможно. Критерий утраты по одной волосинке в день не соответствует характеру задачи, тем более не вполне определённо сформулированной. Складывается впечатление, что именно эту суть парадоксов «кучи» и «лысого» имел в виду древнегреческий философ.

Избыточная точность в некоторых случаях не даёт возможности корректно решить проблему. Требуется хотя бы приблизительно указать те пределы, в которых шевелюра превращается в лысину, а группа песчинок становится кучей.

Для определения переходной зоны, когда возникает куча, нужен критерий, соответствующий размеру объекта. Даже добавление щепоток песка затрудняет определить момент, когда возникнет куча песка. Если добавлять песок горстями, переходная зона станет более определённой.

То же относится к парадоксу «лысый». Если счёт идёт на волосинки, нет никакой возможности определить не только день, но даже неделю, когда на месте шевелюры появится лысина.

По той же причине нет смысла исчислять время перехода из детства в юность в часах, рождение человека в секундах, а железнодорожный путь от Москвы до Владивостока в миллиметрах. Ничего определённого в подобных случаях не получится, а возникнут дополнительно непростые проблемы.

Особенно важно учитывать масштаб и переходные периоды (зоны) в антропологии, обществоведении, геохронологии, теории эволюции.

Необходим оптимальный предел точности, а также разумное определение интервала, разделяющего два разных состояния объекта. Обычно переход реальной, а не мнимой системы из одного состояния в другое происходит за некоторый не всегда точно определимый срок.

Например, в СССР торжественно отмечали день Великой Октябрьской социалистической революции. Как будто именно в этот день (без уточнения часа) произошёл переход российского общества от буржуазной демократии к социализму.

Однако И.В. Сталин в своих работах того времени писал об октябрьском перевороте и был прав. Да, в тот день власть в столице страны перешла к сторонникам социализма и коммунизма. Но революционный переходный период продолжался примерно до 1938 года, когда, после принятия Конституции (её называли Сталинской), окончательно укрепилась социалистическая структура общественной системы.

В истории Земли и Жизни, в Биосфере бывали периоды, которые нередко называют катастрофическими: ледниковые эпохи, массовые вымирания животных, повышенная вулканическая деятельность, активные движения материков. Такое впечатление внезапности возникает, если не учитывать геологические масштабы времени (сотни тысяч, миллионы лет).

В Википедии со ссылкой на авторитетного современного автора написано: «В Северной Европе оледенение… окончилось около 11,7 тыс. лет назад». Событие фиксируется с точностью в 0,1 тысячи лет. С этим нельзя согласиться. Какой принят критерий окончания оледенения? Сомнителен даже сам принцип выделения Северной Европы, тогда как оледенение – явление глобальное. До сих пор существуют покровные ледники Гренландии.

Можно было бы назвать дату, когда исчез последний ледник в Северной Европе, не более того. Это всего лишь локальное событие, которое автор произвольно принял за окончание оледенения.

Наиболее показательна в этом отношении история с преданием о Всемирном потопе. Когда христианские богословы «вычислили» дату сотворения Мира, получилось примерно 6 тысячелетий. Чтобы объяснить, как образовались горы и разные горные породы, пришлось сослаться на катастрофический Всемирный потоп. Но когда учёные стали восстанавливать историю Земли, пришлось отказаться и от этой, и от многих других катастроф прошлого.

Парадокс «Крокодил»

Сицилийский ритор и философ Ѵ века до н. э. Коракс предложил парадокс «Крокодил», похожий на страшную сказку.

Крокодил (или людоед с таким прозвищем) вырвал из рук женщины ребёнка. На просьбы матери вернуть дитя злодей произнёс: «Я верну его, если ты угадаешь, верну я его или нет».

Если мать ответит, что он вернёт дитя Крокодил возразит: «Ты не угадала, я и не собирался этого делать». Оспорить такой ответ нет оснований.

Мать, подумав, сказала: «Ты не вернешь мне дитя».

Крокодил торжествовал победу: «Твои слова могут быть либо истинными, либо ложными. Предположим, ты сказала правду. В таком случае, если я верну тебе ребёнка, получится, что ты сказала неправду. А если ты ошиблась, то не верну по условиям договора!»

Однако мать не согласилась: «Если я сказала правду, ты должен вернуть мне дитя согласно нашему договору. А если я не угадала, ты должен мне его отдать, иначе сказанное мною будет истиной».

Кто из них прав?

Оба рассуждают логично, и оба правы.

На мой взгляд, парадокс показывает, что в ряде случаев логичные рассуждения не дают однозначный ответ, а потому решение остаётся неопределённым.

Крокодилы иногда способны на философские медитации.

Фрагмент античной мозаики

В конце концов злодей Крокодил, перефразируя Крылова, может найти выход: «Ты не права уж тем, что хочется мне кушать».

Непримиримые противоречия решаются обычно волевым способом («У сильного всегда бессильный виноват»).

Электра и Орест

Парадокс «Электра и Орест», возможно, ради популярности связывают с трагедией Эсхила. После долгой разлуки возмужавший Орест, желающий покарать убийц отца, встретился с сестрой Электрой. Она не узнаёт его…

Казалось бы, ситуация парадоксальная: Электра знает своего брата, однако не знает, что он стоит перед ней.

Другой вариант парадокса. Перед вами – знакомый вам человек под покрывалом. Вы его знаете, но в то же время не знаете, ибо не можете сказать, что это именно он перед вами. Выходит, вы его и знаете, но и не знаете одновременно.

В античном варианте: «Если ты не знаешь человека, покрытого накидкой, которым является твой отец, значит, ты не знаешь своего отца».

В форме диалога:

– Ты знаешь своего брата?

– Да, знаю.

– А ты знаешь, кто находится в соседней комнате?

– Нет, не знаю.

– Там находится твой брат. Значит, ты его одновременно и знаешь, и не знаешь.

Ни один из этих вариантов, на мой взгляд, не является полноценным парадоксом, хотя все они наводят на размышления – вполне тривиальные – об игре слов. Античный вариант построен на разном содержании слова «знаешь» и некорректной постановкой вопроса.

Одно дело кого-то знать вообще, знать, что он существует и он твой отец или брат. Совсем другое – не знать, какой конкретно человек находится под накидкой, или за ширмой, или где угодно. Если я не могу знать, кто находится, скажем, в соседней комнате, значит, там может находиться кто угодно, включая родственников. Это не имеет никакого отношения к тому, знаю я того невидимого для меня человека или не знаю.

Вспоминается поговорка: «В огороде бузина, а в Киеве дядька».

Ничего парадоксального тут нет, кроме того, что сопоставляются вещи, не имеющие между собой ничего общего… Между прочим, нет нелепости в словах: «В Киеве у моего дядьки в огороде бузина». Небольшая перестановка, и всё встаёт на свои места.

Электра знает только то, что у неё несколько лет назад был младший брат. Ей даже неизвестно, жив он или умер. Она не догадывается, что молодой человек, стоящий перед ней, её родной брат; не узнаёт его, повзрослевшего, после долгой разлуки.

Можно возразить: если человек о чём-то не догадывается, значит, он этого не знает. Разве не так?

Так-то оно так, да не совсем. Если он сейчас не догадывается, то может догадаться чуть позже. Выражения «не догадываться» и «не знать» имеют разный смысл. В первом случае незнание относительное, ибо ты знал, но не распознал. (В других вариантах: не смог вспомнить или не догадался.)

«Не знать» можно абсолютно, впервые видя данного человека или не имея возможности увидеть, кто находится под покрывалом.

На вопрос «Ты знаешь, кто находится под покрывалом?», верный ответ: «Мне это неизвестно». То есть я могу знать, а могу и не знать, кто это конкретно, если там находится человек (что тоже может быть под сомнением). Это не абсолютное незнание, а относительное.

В развёрнутом виде ответ должен быть: «Я знаю, что под покрывалом находится кто-то или что-то, но я не могу знать, кто или что там».

Возникает парадоксальная проблема знания незнания, но о ней имеет смысл поговорить отдельно.

Электра и Орест. Роспись античной вазы IV в. до н. э.

В варианте с Электрой вполне может быть, что она именно не знает своего выросшего и возмужавшего брата. Ведь она его знала только тогда, когда он был ещё ребёнком. А люди имеют свойство меняться со временем, и порой существенно.

Итак, «парадокс Электры» («Покрывала») точнее называть софизмом или игрой слов и понятий, имеющих разное значение. Хотя он наводит на некоторые дельные мысли.

Парадокс Петрония

Ограничивайте себя во всех вещах, даже в ограничении.

Такой совет приписывают римскому писателю и сенатору I века Гаю Петронию Арбитру. По-видимому, он был автором сатирического романа «Сатирикон» о нравах «элиты» эпохи Нерона.

Насколько справедливо такое пожелание и что из него следует?

Ограничить себя в ограничениях можно понимать как отсутствие всяких ограничений. Многие в окружении императора Нерона, да и он сам, не ограничивали себя практически ни в чём.

На первый взгляд именно это имеется в виду. Иными словами, если ограничивать себя в ограничении, значит, снимаются все ограничения. Но если при этом надо ограничивать себя во всём, как сказано в начале, то ситуация кажется тупиковой.

Получается разновидность парадокса лжеца. (Человек говорит: «я – лжец»; если он сказал правду, значит, он лжец, а если солгал, то сказал правду.)

Однако ограниченность ограничений не означает полное отсутствие каких бы то ни было ограничений. При ближайшем рассмотрении то, что называют «парадоксом Петрония», в действительности является афоризмом в парадоксальной форме.

У него простой смысл: ограничивайте себя в меру.

Прежде всего, надо определить для себя ограничения. Но они должны иметь разумные пределы.

Можно сделать и такой вывод: не следует быть догматиком, надо действовать, исходя из конкретных обстоятельств. Например, больной, слабый человек будет соблюдать по религиозному канону пост, надеясь на улучшение состояния, но от этого ему может стать только хуже.

Гай Петроний Арбитр

Был поучительный случай в начале ХХ века. На строительство Мурманской железной дороги привлекали жителей Российской империи разного вероисповедания. Были среди них исламисты. Летом настал месяц Рамадан, когда принимать пищу можно только после захода солнца. Но оно не заходило! Наступил полярный день.

Соблюдение поста превратилось в голодовку. Она могла бы печально закончиться для истово верующих, без ограничения соблюдающих ограничение в приёме пищи. Властям пришлось срочно вызвать просвещённого муллу, который объяснил, что бывают исключения из строгих религиозных правил.

Оригинальный взгляд на «парадокс Петрония» предложил один из авторов Интернета. По его словам, суть парадокса в том, что нельзя выйти за пределы круга, а можно только увеличивать его радиус. Каким будет этот радиус, каждый выбирает сам.

Такой геометрический вариант прост, нагляден, но не вполне подходит под житейские каноны. Безусловно, надо ограничивать себя в религиозном рвении. А в творчестве? В духовных исканиях? В познании?

Разные бывают ограничения. Надо ли ограничивать себя в творчестве, которое повышает культурный уровень общества, постигает жизнь природы, приносит пользу и радость людям?

В чём действительно ограничения необходимы, так это в материальных потребностях. Современная техническая цивилизация превратилась в цивилизацию отходов, гонки вооружения, расхищения ресурсов Биосферы. Деградирует духовный мир человека, который ориентирован в первую очередь и преимущественно на материальное благосостояние.

Повторю свой любимый афоризм: у человека должны быть ограниченные материальные и безграничные духовные потребности.