Крис Уоринг
Формулы на все случаи жизни. Как математика помогает выходить из сложных ситуаций

Глава 2
Звонок семье

Институт поиска внеземных цивилизаций (SETI), который собирает доказательства существования инопланетной жизни, был основан в 1984 году. Одна из его задач – анализ поступающих из космоса радиосигналов. Вы как раз собираетесь писать диссертацию по астрономии. Вам посчастливилось выиграть конкурс, инициированный SETI, и попасть туда на стажировку. Какая удача: в первый же день регистрируется сообщение, источником которого может оказаться внеземной разум! Вместе с куратором – одним из ведущих астрономов – вам надлежит уточнить место происхождения сигнала. Исходя из настроек телескопов, уловивших сообщение, вы понимаете, что источник находится в пределах области, ограниченной четырьмя звездами. Если вы рассчитаете ее площадь, то сможете настроить телескопы для более точного поиска.

Космос огромен! Настолько огромен, что астрономы редко прибегают к стандартным единицам измерения длины (метрам, километрам) и отдают предпочтение парсекам. По мере обращения Земли вокруг Солнца видимое положение звезд на небе будет изменяться в зависимости от того, насколько они удалены от нашей планеты. Попробуйте закрывать глаза по очереди. Удаленные объекты остаются на месте, но рука, поднесенная к лицу, будет «перемещаться» то вправо, то влево. Расстояние между глазами незначительно, поэтому положение звезд на небе искажаться не будет, но вот диаметр земной орбиты составляет около 300 миллионов километров – и этого достаточно, чтобы наблюдаемое положение объектов изменялось в зависимости от положения наблюдателя. Такое явление называется параллаксом. Если годовой параллакс звезды при условии, что за ней наблюдают с Земли, составляет то расстояние до нее приравнивается к парсеку. Это с трудом укладывается в голове, поэтому ваш куратор рекомендует оперировать световыми годами. Световой год – это не отрезок времени, а расстояние, которое свет способен преодолеть в течение года. Поскольку в космосе, по большому счету, пусто – так, пыль, Солнечная система и молекула-другая водорода, – следует исходить из скорости света в вакууме. Преодолевать различные материалы, допустим, стекло или воду, он будет медленнее.

Насколько огромен космос, настолько быстр свет. Согласно Альберту Эйнштейну, скорость света максимальна для Вселенной – ничто не способно двигаться быстрее. Мы знаем, что скорость света в вакууме составляет 299 792 458 м/с. Это чуть меньше 300 000 км/с. Если перемещаться с подобной скоростью, то от Земли до Луны и обратно можно долететь менее чем за три секунды.

Чтобы вы могли в полной мере оценить космическое пространство и масштаб поисков SETI, астроном просит рассчитать световой год в километрах. Можете действовать следующим образом:

300 000 километров в секунду (× 60)

= 18 000 000 километров в минуту (× 60)

= 1 080 000 000 километров в час (× 24)

= 25 920 000 000 километров в день (× 365)

= 9 460 800 000 000 километров в год.

Это 9,5 триллиона километров. Рассмотрим полученные данные в контексте ситуации. Ближайшая к Солнцу звезда – Проксима Центавра – удалена от нас примерно на 4,2 световых года. То есть где-то на 40 триллионов километров. Самый быстрый космический зонд способен развивать скорость до 250 000 км/ч^[4]. Таким образом, чтобы добраться до Проксимы Центавра ему потребуется «всего» 160 миллионов часов, или чуть больше 18 000 лет.

Теперь вы понимаете: даже при обнаружении инопланетного сигнала перед путешествием к его источнику придется серьезно модернизировать наши межзвездные аппараты.

Далее астроном вручает вам звездную карту, для наглядности размеченную на клетки – световые годы: здесь и четыре звезды, и образованная ими область. Небесные тела образуют четырехугольник, однако его форма неудобна для вычисления площади. Вы понимаете, что сумеете ее определить, если разобьете область между звездами на прямоугольники и треугольники. Известно, что площадь прямоугольника равняется произведению его длины и ширины^[5]: A = lw. Нелишне напомнить, что любой треугольник – это половина прямоугольника (составленного как раз из двух треугольников):

В случае с треугольником нет ни «длины», ни «ширины», вместо этого мы имеем дело с основанием и высотой:

Область между звездами сложно разбить на удобные для вычисления фигуры, однако внешние участки кажутся подходящими для расчета. Это позволяет определить требуемую площадь так: сначала вычислить площадь всего изображения, после чего вычесть из нее площади внешних фигур. Карту нужно разделить следующим образом:

Высчитываете площадь пунктирного прямоугольника: 14 × 8 = 112. Единицей измерения пусть служат квадратные световые годы, ly². Далее приступаете к вычислению площади каждого из четырех треугольников. Площадь T₁ составляет Подсчитав аналогичным путем площади T₂, T₃ и T₄, получаете 10ly², 4ly² и 14ly² соответственно. Квадрат S имеет площадь 4ly². Все вместе это означает, что площадь искомого четырехугольника равняется 112 – 8 – 10 – 4 – 14 – 4 = 72ly².

Но вы добросовестный ученый и хотите проверить вычисления при помощи другого метода. К счастью, есть по-настоящему эффектный способ. В 1899 году австрийский математик Георг Пик опубликовал формулу, теперь известную нам как теорема Пика, – метод вычисления площади фигур, углы которых лежат на точках сетки. Теорема гласит:

где буква i обозначает количество точек внутри многоугольника, а буква b – количество точек на его границе.

Из рисунка следует, что внутри фигуры имеются 69 точек, на ее границе – 8. И мы получаем:

Гордясь подтвержденным результатом, вы несете его куратору, чтобы он мог сузить область поиска.

Многие ученые считают, что любое сообщение от внеземной цивилизации будет составлено на языке математики. На борту запущенных в 1970-х годах космических аппаратов «Пионер-10» и «Пионер-11» – на случай, если бы им по пути встретились инопланетяне, – разместили идентичные пластинки с выгравированными изображениями мужчины и женщины. Кроме того, эти послания содержали информацию о местоположении Солнечной системы, а базовой единицей длины служила длина волны излучения атома водорода^[6]. В 1974 году радиотелескоп из обсерватории Аресибо (Пуэрто-Рико) отправил в космос закодированное сообщение, составленное Фрэнком Дрейком и Карлом Саганом. Оно рассказывало о ДНК, человечестве и планетах Солнечной системы. Чтобы добраться до намеченной цели, сигналу потребуется 25 000 лет.

Предполагается, что у инопланетных форм жизни, с которыми мы могли бы вступить в контакт, должно быть достаточно математических знаний, чтобы перехватить наши сообщения, разработав соответствующую технологию. Точная наука наверняка сработает как основа для метода коммуникации, однако есть отличная от нуля вероятность, что источником исчерпывающих сведений о человечестве станут многочисленные телешоу, которые мы транслируем на весь космос вот уже долгие годы. Но, как бы то ни было, математика все равно сыграет свою роль. Можете не сомневаться.

Уравнение Дрейка

Фрэнк Дрейк – американский астроном, который пытался найти внеземной разум задолго до основания SETI. Чтобы выяснить, каковы наши шансы на контакт с внеземными цивилизациями, он предложил такую формулу:

 

N_c = R_* f_pn_ef_lf_if_cL.

Здесь R* означает количество звезд (в среднем), ежегодно рождающихся в галактике; f_p – доля звезд с планетами; n_e – число планет с условиями, пригодными для жизни; f_l – доля планет, на которых могла бы появиться жизнь; f_i – доля планет, на которых способна развиться разумная форма жизни; f_c – доля планет, где разумная жизнь может транслировать в космос понятные сигналы. L – отрезок времени, в течение которого такая цивилизация передает или слушает сообщения. Перемножив переменные, получаем N – число доступных для контакта инопланетных культур. Однако неизвестные в уравнении сложно определить объективно, и, согласно последним расчетам, число N лежит в диапазоне от 0 (мы одни в галактике) до миллионов (нас очень много, давайте-ка встретимся!).

Глава 3
Зомби-апокалипсис!

По всему миру люди становятся жертвами кровожадной, растущей день ото дня армии безмозглых зомби! Первая волна эпидемии вызвала всеобщую панику, и люди, сумевшие найти надежное укрытие, изо всех сил пытаются выжить. Интернет не работает, электричества нет. Телефонные сети – как стационарные, так и сотовые – мертвы. Помощи ждать неоткуда. Вы мэр городка Моддлтон с населением 1000 человек. В некотором смысле вам повезло: поселение занимает большой остров посредине очень широкой реки. Оба моста, что связывают его с берегами, вы заблокировали, однако, судя по поступающей информации, как минимум одному зомби все же удалось пробраться на остров. Сможете ли вы задействовать свои познания в области математического моделирования и, выработав правильную стратегию, спасти свой городок, его жителей и самого себя?

Человеческие популяции давно занимают ученых – экономистов, политологов, математиков, причем интерес вызывает поведение популяций даже в самые древние времена, когда после возникновения земледелия (то есть более 5000 лет назад) люди начали организовывать поселения. Математики перевели это поведение в системы уравнений, они же модели, и теперь, применяя их к самым разным данным, пробуют предсказать действия популяции в зависимости от ситуации.

Математические модели используются в различных областях: например, с их помощью можно объяснить циклы роста и сокращения популяций леммингов, прогнозировать урожай сельскохозяйственных культур или поведение избирателей во время выборов. Вас, однако, интересуют эпидемии и их последствия. За плечами у вас множество политических кампаний, и вы понимаете: чтобы спрогнозировать будущее жителей вашего городка, при моделировании зомби-апокалипсиса нужно обратиться к механизмам распространения и сдерживания инфекционных заболеваний. Еще вам известно, что в основе математических моделей лежат дифференциальные уравнения. Применительно к вашей ситуации это выглядит так: вместо того чтобы вычислять конкретное число – скажем, количество зомби в городке, – они будут описывать изменение этого числа, то есть определять, сколько ежедневно прибывает (или убывает) живых мертвецов.

Дифференциальные уравнения сложно решать аналитически – то есть находить точные ответы, прибегая к обычному способу решения уравнений. Обычно приходится прибегать к математическому анализу – а это вам не арифметика! Но если использовать численный метод, то есть последовательно подбирать числа, которые могут подойти к конкретному классу дифференциальных уравнений, параметры модели удастся оценить максимально точно.

Для применения модели требуется оценить ряд исходных числовых характеристик – параметров. В вашем случае важно, насколько быстро станет распространяться эпидемия зомби. До того, как отключился свет, СМИ успели передать, что за день живые мертвецы способны атаковать и «обратить» примерно двоих. Вот эта информация и есть необходимый параметр. Однако фактическая численность обращенных в зомби будет зависеть и от населения, доступного для заражения: чем меньше его количество, тем меньше людей встретится живым мертвецам. Зная все это, вы можете составить первое уравнение. Чтобы упростить задачу, сформулируем ее сначала словами:

Ежедневное изменение численности зомби = 2 × количество зомби × доля оставшейся человеческой популяции.

А теперь запишем иначе:

где Z и H – это количество зомби и людей соответственно. Поскольку изначально население составляло 1000 человек, доля оставшихся в живых людей выглядит как  – изменение популяции зомби. Если убрать символы умножения, уравнение примет краткий вид:

Упрощаем дробь, для чего и числитель, и знаменатель делим на 2:

Поскольку это изменение количества живых мертвецов, есть смысл представить уменьшение человеческой популяции в виде аналогичной дроби, но со знаком минус. Ведь если количество зомби увеличивается на столько-то единиц, то численность людей убывает на столько же единиц. Получаем:

где Ḣ – изменение человеческой популяции. Итак, у вас есть два дифференциальных уравнения. Пришло время проверить, как работает модель. Просчитать ее для первого дня довольно легко. Согласно предположению, на острове находится всего один живой мертвец, который заразит двоих людей. Изменение популяции зомби (Ż) получится равным 2, убыль численности городского населения (Ḣ) составит –2. Это отличная возможность проверить работоспособность составленных уравнений:

перемножаем числа в числителе:

упрощаем до:

Ż = 2.

На второй день «обращение» людей в зомби немного осложнится, так как накануне человеческая популяция слегка сократилась. Итак, на второй день при H = 998 и Z = 3 имеем:

Используем калькулятор на солнечных батареях и подсчитываем:

Ż = 5,988.

Из-за незначительной убыли городского населения прироста в шесть живых мертвецов, который ожидается при наличии трех зомби, не получается. Вы можете возразить, что, если количество зомби не является целым числом, это выглядит как-то странно, но не забывайте: это просто модель. Согласно модели, к исходу второго дня зомби успеют «обратить» почти шестерых новичков, и они непременно завершат то, что начали. Следовательно, в городке появятся 8,988 живых мертвецов и останется 991,012 человек. Темп распространения кажется довольно низким, но уже через несколько дней ситуация резко обострится:

Если все умрут в течение недели, это станет катастрофой для вашей следующей избирательной кампании! Очевидно, причина столь высокой смертности – в том, что живые люди сидят сложа руки и позволяют зомби бесчинствовать. Тем не менее расчеты показывают, что через несколько дней ситуация станет критической, и потому вы отдаете приказ всем укрыться по домам и забаррикадироваться.

Как это повлияет на модель? Что ж, ежедневное пополнение армии живых мертвецов затормозится. Если люди попрятались, добраться до них сложнее, и у зомби нет возможности рекрутировать «новобранцев». Выражаясь языком математики, эффект будет заключаться в заметном уменьшении исходного множителя 2. Между тем каждому политику известно, что далеко не все станут выполнять приказы – кто из-за упрямства, кто из-за необходимости добывать пропитание или лекарства. Следовательно, снизить ежедневное количество «обращений» до нуля не получится. Поэтому, изменяя модель, вы закладываете скорость, равную 0,25, то есть подразумеваете, что каждый зомби будет «обращать» очередного человека в живого мертвеца не чаще чем раз в четыре дня. Производим вычисления и по результатам строим график на странице 44:

Итак, есть хорошая и плохая новости. Хорошая заключается в том, что зомби потребуется время, чтобы укрепить свои позиции и начать вредить всерьез. Плохая новость – через 50 дней население вашего городка все равно превратится в ходячих мертвецов. Однако вы понимаете, что такой подход позволит людям выиграть время, а единственный способ вытащить хоть кого-нибудь из этой передряги – переиграть зомби на их же поле. Тогда вы решаете закрыть Моддлтон на 20 дней и, призвав на помощь небольшой отряд городской полиции и несколько воинственно настроенных смельчаков, провести во время карантина кое-какие исследования и выработать победную стратегию.

Выясняется, что фильмы не врут: удар тупым предметом по черепу разрушает мозг зомби, и это лучший способ борьбы с ними. По счастью, Моддлтон славится крикетными, хоккейными и гольф-клубами, поэтому у горожан полным-полно бит и различных клюшек. Становится понятно, что живые мертвецы плохо видят в темноте, поэтому охотиться на них лучше ночью. Это опасно, да и вероятность «обращения» возрастает, но в борьбе за выживание не пристало привередничать. Вы занимаетесь исследованиями две-три недели, потом уточняете некоторые цифры и вносите в модель изменения.