Чад Орцель
Завтрак с Эйнштейном. Экзотическая физика повседневных предметов

Световые волны и цвета

Как часто случается, самый простой способ объяснить необходимость в радикально новой теории – это демонстрация провала прежней теории. До того, как мы поймем, как квантовая модель решила проблему теплового излучения, мы должны увидеть, почему этого не смогла сделать классическая физика. Для этого, несомненно, нужно разобраться в основах того, что классическая физика говорит о свете, тепле и материи.

Первой, очень важной, концепцией, лежащей в основе экспериментов, которые привели к разрушению классической физики, считается идея, что свет – это волна. Волновая природа света была известна за полвека до уравнений Максвелла, по большей части благодаря экспериментам, выполненным около 1800 года английским эрудитом Томасом Юнгом^[29]. Физики спорили, представлять свет лучше всего как поток частиц или как волну в какой-то субстанции, но Юнг убедительно продемонстрировал волновую природу своим гениально простым экспериментом со светом «на двух щелях»: свет проходил через две узкие щели, прорезанные в экране. Юнг обнаружил, что свет, который проникал через две близко расположенные прорези в экране, с другой стороны не превращался в две яркие полоски, как можно было бы ожидать (как в случае со светом, проходившим через одну прорезанную щель). Вместо этого на экране появлялся ряд светлых и темных точек^[30].

Эти пятна возникают в ходе процесса, известного как «интерференция», который происходит тогда, когда складываются волны из двух различных источников. Если две волны приходят в конкретную точку пространства «в фазе», так что пики (гребни, максимумы) одной волны совпадают с гребнями другой волны, они складываются и образуют волну с более высоким гребнем, чем каждая по отдельности. С другой стороны, если волны приходят «не в фазе», например, гребень одной волны и впадина другой, они взаимно вычитаются, и гребень одной волны заполнит долину другой, в результате волны не будет совсем. Это работает для любых источников волн, например, так бывает при возникновении сложных паттернов (картинок) от волн в прудах развлекательных парков. Тот же процесс интерференции используется для уничтожения волн и подавления «шума» в наушниках.

Интерференция в эксперименте Юнга получается потому, что волнам света от каждой щели нужно различное количество времени, чтобы дойти до определенной точки на экране. В точке ровно по центру между двумя щелями обе волны идут одно и то же расстояние и таким образом приходят в фазе, образуя яркое пятно. В точке несколько слева от центра волны от щели с левой стороны проходят более короткий путь до экрана, чем волны от щели с правой стороны. Это дополнительное расстояние означает, что волны от правой щели чуть дольше колебались и пики правощелевых волн совпадают с долинами лево-щелевых, образуя темное пятно. Еще чуть дальше, и дополнительное расстояние позволяет волнам закончить колебание до полного цикла, накладывая пики волн от правой и левой щели друг на друга и создавая следующее яркое пятно.

Этот паттерн повторяется много раз, создавая ряд светлых и темных пятен. Расстояние между светлыми пятнами имеет простую зависимость от длины волны, обеспечивая удобный способ измерять длину волны видимого света. В современных единицах она варьируется от 400 нанометров для фиолетового цвета до примерно 700 нанометров^[31] для глубоко красного цвета. Добавление дополнительных щелей будет делать яркие точки уже и более отчетливыми. К 1820-м годам Йозеф фон Фраунгофер^[32] использовал «дифракционные решетки», основанные на интерференции света, для того, чтобы сделать первые достаточно точные измерения длин волн света, испускаемого Солнцем и другими звездами.

Эксперимент Юнга, опубликованный в 1807 году, вызвал сенсацию в кругах физиков, но многие ученые неохотно расставались с теорией света как частиц (корпускулярной теорией света). Когда французский физик Огюстен Жан Френель представил статью по волновой теории для конкурса по физике, один из несогласных, Симеон Дени Пуассон^[33], указал, что интерференция волн, которую используют для объяснения эксперимента Юнга, должна предсказывать, что в центре тени от круглого предмета должно появляться светлое пятно. Такое светлое пятно в центре тени казалось совершенно абсурдной идеей, и Пуассон, таким образом, забраковал волновую модель света.

Интерференция световых волн в двухщелевом эксперименте. На полпути между щелями волны проходят в фазе и объединяются, образуя яркое пятно. Немного выше центра, волны от нижней щели проходят большее расстояние, и таким образом происходит дополнительное полуколебание (пунктирная линия), так что пики от нижней волны заполняют поля сверху, производя темное пятно. На еще большем расстоянии волны от нижней щели завершают полное дополнительное колебание (пунктирная линия), и волны снова находятся в фазе, создавая еще одно яркое пятно.

Франсуа Араго^[34], один из судей на конкурсе, был заинтригован идеей Пуассона и начал тщательный экспериментальный поиск светлых пятен в центре теней. Наблюдение светлого пятна требовало особенной тщательности, но Араго был вполне готов к такой задаче и окончательно показал, что свет, проходя вокруг округлого предмета, действительно может интерферировать и создавать светлое пятно в центре тени. Это «пятно Араго», или «пятно Френеля»^[35], было окончательным доказательством, чтобы убедить большинство физиков, что свет в действительности является волной.

Эксперимент Араго обеспечил успех волновой теории, но все-таки это оставалось загадкой до 1860-х годов, когда уравнения Максвелла объяснили свет как электромагнитную волну. В последние десятилетия 1800-х волновая теория была надежно обоснована, и физики стремились объяснить все взаимодействия между светом и материей в терминах электромагнитных волн.

Спектр теплового излучения для различных температур. Вертикальные линии обозначают ограничения по видимому спектру, показывая, как максимум движется от инфракрасного в видимый диапазон с повышением температуры.

При изучении волн есть два свойства, которые мы можем легко измерить: длина волны и ее частота. Длина волны есть расстояние между максимумами (гребнями) волн, если смотреть на моментальный снимок всего паттерна на каком-то участке. Частота – это время прохождения гребней, отмеченное в какой-то одной точке, через которую проходят волны. Поскольку свет распространяется с постоянной скоростью, частота и длина волны тесно связаны: волна перемещается вперед на одну длину волны за одно колебание. Более короткие волны повторяются чаще за один и тот же период, поэтому они имеют более высокую частоту. Физики могут обсуждать свет в двух режимах, переключаясь то в один, то в другой, – либо в терминах частоты, либо в терминах длины волны, в зависимости что будет наиболее удобным для решения конкретной задачи на данный момент. Мы тоже переключимся парочку раз на протяжении этой главы.

Определение «цвета» света, испускаемого горячим предметом, – вопрос измерения его спектра: интенсивности света, излучаемого на каждой частоте в широком диапазоне. Когда мы измерим этот спектр для света при определенной температуре, то обнаружим простую характерную форму, распределение меньшего количества света на более низких частотах, возрастание до максимума и затем резкое падение на высокочастотном конце. «Цвет» света определяется положением этого максимума – точной частотой, на какой излучение максимально, и зависит только от температуры, все вот так просто. По мере возрастания температуры частота, на которой количество излучаемого света достигает максимума, становится выше. При комнатной температуре пик интенсивности излучения находится далеко в инфракрасном диапазоне спектра, передвигаясь к красному отрезку видимого спектра, когда температура возрастает до «раскаленно-красной», и дальше к синему отрезку при дальнейшем повышении температуры.

Предмет, нагретый добела, имеет максимум спектра излучения, это будет соответствовать зеленому цвету^[36], но он излучает достаточно много света по всему видимому диапазону спектра и таким образом свет кажется белым.^[37] Если вы удвоите температуру (измеряя ее по шкале Кельвина, которая начинается с абсолютного нуля), частота для максимума также удвоится.

Спектр света от Солнца весьма напоминает спектр от горячего объекта, соответствуя температуре около 5600 К, при максимуме на частоте около 600 ТГц. В действительности именно так началось измерение температуры Солнца и других звезд. На другом конце температурного ряда находится микроволновое фоновое излучение космоса, так называемое реликтовое излучение, оставшееся после Большого взрыва. Оно пронизывает Вселенную и имеет спектр, соответствующий предмету с температурой 2.7 К и максимумом излучения около 290 ГГц.

Тепло и энергия

В течение XIX века параллельно с развитием теорий электромагнетизма и волновой модели света были сделаны существенные шаги в физике термодинамики. Точно так же, как в начале века шли споры о двух моделях света – волновой и корпускулярной, первые десятилетия 1800-х были свидетелями споров по двум конкурирующим моделям тепла. Одна школа рассматривала тепло как физический объект сам по себе – «тонкая жидкость», называемая «теплородом^[38]», которая перетекала от одного объекта к другому. Конкурирующая модель – «кинетическая теория» рассматривала тепло как возникающее из случайного движения микроскопических частиц, создающих макроскопическую материю.

В течение нескольких десятилетий эксперименты Бенджамина Томпсона^[39] (также известного, как граф Румфорд) и Джеймс Джоуль^[40]продемонстрировали связь между механической работой и выработкой тепла, что трудно было увязать с теорией теплорода. Томпсон показал, что трение при высверливании пушечного ствола может производить неисчерпаемое количество тепла, что было бы невозможным, если бы «теплород» был реальной жидкостью. Джоуль усилил эту связь, определив точное значение «механического эквивалента тепла», то есть сколько работы необходимо для повышения температуры определенного количества воды на один градус, если ее размешивать.

С более теоретическим подходом выступили в своих работах Рудольф Клаузиус^[41] и Джеймс Клерк Максвелл^[42], связав математической зависимостью поток тепла между предметами с кинетической энергией атомов и молекул, из которых они состоят. Австрийский физик Людвиг Больцман, опираясь на работы Максвелла, разработал большую часть статистической модели тепловой энергии, которую мы используем сегодня.

Отдельные атомы и молекулы в газе или твердом теле беспорядочно колеблются или передвигаются с разными скоростями, но поскольку их очень много, мы можем применить статистические методы для точного предсказания вероятности нахождения атомов с определенной кинетической энергией в веществе при определенной температуре. (Получившаяся в результате формула известна как «Распределение Максвелла-Больцмана» в честь их инновационной работы.) Важнейшая часть кинетической модели – понятие «равнораспределения», введенное Максвеллом и уточненное Больцманом. Оно утверждает, что энергия распределяется одинаково среди всех типов движения, доступных частицам. Газ, состоящий из единственного атома, содержит всю свою кинетическую энергию в линейном движении этого атома, в то время как газ простых молекул будет содержать энергию, распределенную в равных долях между линейным движением молекул в целом, вибрацией атомов внутри молекул и вращением каждой молекулы вокруг ее центра масс.

Кинетическая теория и такой статистический подход успешно объяснял термические свойства многих материалов^[43], и в конце 1800-х годов теория теплорода была окончательно отвергнута. Поскольку излучение света требует тепловой энергии и свет играет значительную роль в передаче тепла, именно поэтому повара покрывают некоторые блюда фольгой, чтобы загородить путь свету и уменьшить нагрев. Физики, естественно, начали исследовать связь между электомагнитными волнами и тепловой энергией. Эта задача требовала эмпирических данных, поэтому в 1800-х спектроскописты в Германии проводили эксперименты для измерения спектра света, излучаемого горячими предметами в широком диапазоне температур и длин волн. Экспериментальные результаты были высокого качества, но объяснение этих результатов в терминах кинетической модели физики никак не давалось.

В 1890 году две конкурирующие модели Вильгельма Вина^[44] из Германии и Лорда Рэйли^[45] из Британии дали возможность сделать практические предсказания количества света, излученного на данной длине волны при данной температуре. При этом формула была основана на общих принципах и экспериментальных данных из одного диапазона длин волн, и ученые надеялись покрыть ею и другие диапазоны. Предсказания Вина совпадали с данными на высоких частотах, но не работали для низких частот, в то время как выводы Рэйли были верны лишь для низких частот. В 1900 году Макс Планк нашел математическую функцию, объединявшую оба вывода и согласовавшуюся, наконец, с данными наблюдений. Планк вывел эту функцию после одной вечеринки, которую он устроил, где спектроскопист Генрих Рубенс рассказал ему о предсказаниях Рэйли и последних экспериментальных результатах. Когда гости ушли, Планк погрузился в свое исследование, и через некоторое время появился с точной формулой, что он и послал на открытке в тот же вечер. Но если формула Планка и была огромным успехом с практической точки зрения, никто не мог объяснить, почему она работает, по крайней мере, при использовании принятых фундаментальных принципов физики.

Ультрафиолетовая катастрофа

Итак, как должна выглядеть модель, основанная на этих принципах? Общий подход наиболее ярко иллюстрируется методом, предпринятым британскими физиками Лордом Рэйли и Джеймсом Джинсом, который в действительности был проделан чуть позже успешной квантовой модели Планка. Модель Рэйли-Джинса оказалась неверной, но выявила причины этого провала и показала, что решение может быть построено в рамках базовой терминологии.

Идея Рэйли-Джинса для решения проблемы теплового излучения очень проста и опирается на понятие равнораспределенности, использованное Максвеллом и Больцманом^[46] при описании термических свойств газов: вы просто берете энергию, полученную от нагревания, и делите ее в равных долях между всеми возможными частотами света. Принцип «распределить ее поровну» требует, однако, конечного набора возможных частот, а это означает, что физики должны иметь упрощенную теоретическую модель, чтобы разбить на части непрерывный спектр света.

Трюк, позволяющий сосчитать частоты, следует из универсальности наблюдаемого излучения: мы помним, что спектр света от горячего предмета не зависит от каких-либо его материальных свойств. Теоретическая модель должна была принять это во внимание, это привело физиков к тому, чтобы рассмотреть свет, испускаемый идеальным «черным телом»^[47], то есть объектом, который поглощает любой свет, падающий на него, и не отражает ничего. Это не означает, что «черное тело» действительно черного цвета и не излучает света. Если бы это было так, оно быстро бы нагрелось и распалось. Здесь важно понимать, как и со свечением нагревательного элемента, что излучаемый свет никоим образом не зависит от поглощаемого света.

Далее обнаружилось, что есть прекрасный практический способ создать такое черное тело в лаборатории: коробка с маленькой дырочкой в ней. До тех пор, пока дырочка мала по сравнению с размерами коробки, входящему свету будет почти невозможно выйти обратно, вместо этого он будет отражаться много раз от стенок коробки внутри, до того момента, как найдет выход (если полностью не поглотится ранее). Это примерно и есть сущность «черноты» черного тела: падающий на него свет поглощается и не отражается независимо от частоты.

Физики, делающие измерения теплового излучения^[48], использовали именно такую технику для своих экспериментов. Модель коробки с маленькой дырочкой помогла физикам, поскольку волны внутри нее оказывались ограниченными по набору частот. Волны, которые хорошо совпадали с границами коробки, продолжали свой путь достаточно долго, а волны «неправильных» частот накладывались друг на друга и уничтожались. Свет все-таки сумел вырваться через дырочку, обладал ограниченным набором частот, какие были внутри, и не имели ничего общего с происходившим вне коробки^[49].

Как только физики научились выполнять этот трюк для определения ограниченного набора допущенных частот, появилась надежда, что они смогут подсчитать допущенные частоты внутри коробки и разделить всю доступную энергию между ними. При этом полученный в результате спектр будет напоминать то, что наблюдалось в экспериментах и описывалось формулой Планка. К сожалению, этот простой и прямой подход потерпел провал. Мы сможем понять, почему это произошло, если пройдем по процессу подсчета допустимых частот.

Допустимые частоты внутри коробки называются «моды стоячих волн» и определяются размером коробки и ограничением, что ни одна из волн не должна ее покидать (если дырочка в коробке достаточно мала, и часть света, покидающая коробку так невелика, что ее можно смело проигнорировать). Для наглядности, чтобы понять происхождение и характеристики этих мод стоячих волн, мы можем упростить еще больше, представив «коробку», у которой только одно измерение: волны могут путешествовать только вправо, влево и ни в каких других направлениях. Этому есть простой и часто встречающийся в повседневной жизни аналог – струна музыкального инструмента.

Гитарист извлекает звук, дергая за струну и создавая возмущение, которое распространяется в форме волны и колеблет струну вверх и вниз. Два конца струны зафиксированы, поэтому когда бегущая по ней волна достигает пальца гитариста, прижимающего струну к ладу, она отражается обратно, изменяя направление движения вниз по грифу. Не требуется много времени, пока волна, путешествующая в противоположном направлении, окажется на том же участке струны, где они интерферируют (накладываюся) друг с другом, как свет от двух щелей в знаменитом эксперименте Юнга. Если вы сложите вместе все эти волны, то обнаружите, что большинство длин волн в результате полностью были уничтожены за счет интерференции. Каждая волна старается приподнять струну своим максимумом (пиком), а другая старается опустить ее своим минимумом (долиной), и они взаимно уничтожают друг друга. Для очень ограниченного набора длин волн, однако, возникает конструктивная интерференция: все возможные отраженные волны поднимаются своими гребнями точно в одном и том же месте. Эти длины создают стабильную картинку (паттерн) волн вдоль струны, где некоторые ее части слегка колеблются, а другие остаются на одном месте.

Наиболее простой из этих паттернов – «основная мода» с единственным колеблющимся узлом между зафиксированными концами. Мы обычно рисуем ее как выступающий горб, но в действительности он изменяется во времени: часть струны в середине то поднимается вверх, то падает вниз до плоского состояния, то опускается вниз, создавая отрицательный пик, затем обратно до нуля, вверх до максимума и так далее. Время, требующееся для выполнения одного колебания, определяется частотой, связанной с длиной рассматриваемой волны.

Длина волны определяется расстоянием, которое надо пройти от пика до долины и снова обратно на пик. Единичное «вверх-назад к нулю» движение составляет половину волны, так что длина волны, связанная с основной модой, – дважды длина струны. Следующим простейшим паттерном будет полная волна между зафиксированными концами, поднимающаяся вверх (или опускающаяся вниз) и затем назад вниз (или вверх) с зафиксированным «узлом» в центре, где струна не движется; длина волны второй «гармоники^[50]» точно равна длине струны. Следующая гармоника имеет одну с половиной волны (три колеблющихся горба и два узла) для длины волны в две трети длины струны; следующий имеет две волны с длиной волны в половину длины струны и так далее.

Некоторые из мод стоячих волн в одномерной «коробке» длиной L с длиной волны (лямбда) для каждой моды

Если мы внимательно посмотрим на допустимые моды, то найдем очень простую зависимость: в каждой из допустимых мод стоячих волн целое число половин длин волны должно укладываться в длину струны. Существует дискретный набор этих допустимых мод, и мы можем каждой из них присвоить номер по количеству колеблющихся горбов в соответствующей картинке.

Звук, что мы слышим от гитары, представляет прекрасную аналогию спектра, который мы видим в модели черного тела. Начальный щипок за струну будет возбуждать волны с огромным количеством различных частот, как свет, входивший в коробку нашего черного тела. После очень короткого времени, однако, деструктивная интерференция между множественными отражениями от концов струны или стенок коробки уничтожает большинство этих длин волн, оставляя только те, которые соответствуют модам стоячих волн.

В случае с гитарной струной большинство энергии волны поступает в основную (первую) моду, что в первую очередь определяет звук, который мы слышим. Чем больше частота гармоник, тем меньше на их долю остается энергии, но они все-таки присутствуют и ответственны за богатый звук настоящего инструмента по сравнению, скажем, с компьютерным звуком, сгенерированным в одном единственном тоне. Множественные различные настройки и эффекты, используемые гитаристами, производят отчетливо различные тона за счет усиления некоторых из этих гармоник и подавления других, чтобы создать особый звук, скажем, у гитары Джерри Гарсии^[51] или Джими Хендрикса^[52].

Для световых волн в нашей коробке, изображающей черное тело, распределение энергии формируется не только эстетическими вкусами конкретного игрока, но и с помощью простого правила из физики тепла: равное распределение. Процесс определения мод стоячих волн считается несколько более сложным для света в трех измерениях, чем звука в одном измерении, но приводит к тому же результату – можно насчитать ограниченный набор пронумерованных мод. Раз уж мы знаем эти моды, закон равного распределения энергии говорит нам присвоить каждой моде равную часть общей энергии, полученной от теплового движения частиц, из которых состоят стены коробки^[53].

Проблема в том, что по мере того как длины волн становятся все короче, длины волн допустимых мод становятся все ближе и ближе друг к другу. Если мы подсчитаем количество мод внутри некоторого заданного диапазона длин волн, мы обнаружим что оно возрастает бесконечно на коротких волнах (мы помним, они соответствуют высоким частотам). Если мы вообразим струну длиной в полметра с основной волной длиной в один метр, допустимы две моды с длиной в пять миллиметров между 0.1 метра и 0.095 метра, то есть две длины волны, которые могут уложить целое количество своих полуволн в длину струны. В диапазоне пятимиллиметровой длины волны между 0.02 метра и 0.015 метра существует тридцать четыре моды.

В терминах спектра эта модель не дает хорошего, простого пика (максимума) на промежуточных длинах волны, найденных в экспериментах. Наоборот, модель утверждает, что любой объект, независимо от температуры, должен излучать бесконечное число коротковолнового (высокочастотного) излучения. Это не совсем то, что мы хотели бы иметь в своем тостере.

Спектр теплового излучения при разных температурах плюс предсказания модели Рэйли-Джинса, т. е. «ультрафиолетовая катастрофа».

Провал прямолинейного подсчета мод был настолько тяжелым, что приобрел название «ультрафиолетовой катастрофы»^[54]. Объяснение максимума, наблюдаемого в спектре реального черного тела, и успешное описание Планком в 1900 году в его формуле потребовало фундаментальных сдвигов в нашем понимании того, как распределяется энергия.