Алексей Лобанов
Энциклопедия финансового риск-менеджмента

2.12. Хеджирование портфелей облигаций против процентного риска

Предположим, что инвестор владеет портфелем облигаций и решает его хеджировать против процентного риска с помощью фьючерсов на казначейские облигации (или казначейские вексели) с датой передачи Т.

Можно показать, что относительное изменение фьючерсной цены облигации, лежащей в основе фьючерсного контракта, при изменении безрисковых процентных ставок на величину Дг (при непрерывном начислении процентов) удовлетворяет следующему приближенному равенству:

Равенство (2.24) позволяет находить количество фьючерсных контрактов, необходимых для хеджирования портфеля облигаций против процентного риска. Однако следует отметить, что такая стратегия хеджирования обеспечивает защиту от процентного риска лишь в течение небольшого периода времени. Для защиты процентного риска на продолжительном отрезке времени стратегию хеджирования необходимо периодически пересматривать.

Пример 2.13. Инвестор владеет портфелем казначейских облигаций, поток платежей от которого будет следующим:

Для хеджирования портфеля облигаций против процентного риска инвестор решает использовать фьючерсные контракты на трехмесячные казначейские вексели. Определим, сколько потребуется таких контрактов в начальный момент времени для хеджирования, если все безрисковые процентные ставки одинаковы и равны 8 %.

Текущую стоимость портфеля облигаций и его дюрацию можно найти следующим образом:

Текущую фьючерсную цену казначейского векселя найдем по формуле (2.11):

Количество фьючерсных контрактов, необходимых для хеджирования, определим по формуле (2.24):

Таким образом, в начальный момент времени для хеджирования портфеля облигаций следует занять короткую позицию по трем фьючерсным контрактам на казначейские вексели.

2.13. Фондовые индексы. Фьючерсные контракты на фондовые индексы

Для отслеживания конъюнктуры цен акций используется много различных рыночных индексов. Эти индексы различаются как по составу учитываемых акций, так и по методам их расчета.

Например, фондовый индекс S&P 500 рассчитывается на основе акций 500 крупнейших американских компаний, среди которых 400 промышленных корпораций, 40 коммунальных предприятий, 20 транспортных компаний и 40 финансовых институтов.

Этот индекс, как и многие другие, рассчитывается на основе метода взвешивания по стоимости, который сводится к следующему. В каждый момент времени t можно определить суммарную рыночную стоимость всех акций рассматриваемых корпораций по формуле:

В некоторый момент времени t₀ индексу приписывается определенное значение, скажем А. Тогда значение индекса в момент t определяется следующим образом:

Таким образом, для определения значения индекса в момент времени t₂ необязательно знать, какое значение было приписано индексу в начальный момент времени. Достаточно иметь информацию для некоторого предыдущего момента времени t₁.

Главной особенностью фьючерсных контрактов на фондовые индексы является то, что никакие активы не меняют своих владельцев, а все расчеты производятся в денежной форме.

По условиям фьючерсного контракта на фондовый индекс сторона, занимающая длинную позицию, в момент окончания действия контракта получает денежную сумму в размере

Аналогично сторона, занявшая в момент времени t короткую позицию по фьючерсу на фондовый индекс, получает в момент Т денежную сумму

Для фьючерсных контрактов на фондовый индекс S&P 500 денежная сумма L определена в 500 долл.

Фьючерсные контракты на фондовые индексы широко используются для хеджирования портфелей акций^[19]. Оптимальное количество фьючерсных контрактов на фондовый индекс, необходимых для хеджирования данного портфеля акций, можно найти по формуле:

Коэффициент бета портфеля акций определяется следующим образом:

При этом коэффициент бета портфеля акций является средневзвешенной суммой коэффициентов бета акций, составляющих этот портфель. Весовыми коэффициентами являются доли средств, инвестированных в тот или иной вид акций.

Пример 2.14. Инвестор собирается хеджировать имеющийся у него портфель акций с помощью фьючерсов на фондовый индекс S&P 500. Исходная информация приведена в таблице:

Количество фьючерсных контрактов, необходимых для хеджирования портфеля акций, определим с помощью формулы (2.27):

Если через месяц, когда инвестор закрывает свою позицию, цены акций окажутся равными 8,25, 20,75, 15,50, 32,50 и 65,25 долл. соответственно, а фьючерсное значение индекса S&P 500 = 221,50, то доход инвестора составил бы без хеджирования:

2.14. Процентные свопы

Свопом, или своповым контрактом (swap), называется соглашение об обмене потока будущих платежей от одних активов на поток будущих платежей от других активов. В зависимости от того, какие активы положены в основу свопового контракта, выделяют различные виды свопов.

В частности, в процентном свопе (interest rate swap) производится обмен процентных платежей от условной основной суммы займа с фиксированной процентной ставкой на процентные платежи от той же условной основной суммы займа с плавающей процентной ставкой.

Во многих процентных свопах плавающая процентная ставка привязана к ставке предложения на лондонском межбанковском рынке 6-месячных евродолларовых депозитов. Эту процентную ставку будем называть ставкой LIBOR^[20]. Например, в своповом контракте плавающая процентная ставка может быть установлена в размере LIBOR + 0,5 %.

Тогда, если на начало 6-месячного периода ставка LIBOR равна 8 %, то при условной основной сумме в 1000 долл. плательщик плавающей ставки в конце рассматриваемого периода должен уплатить

Выясним теперь, при каких обстоятельствах своповый контракт может быть выгоден обеим сторонам.

Предположим, что компаниям А и В необходимы займы на определенный срок в размере Q, причем компании А необходим займ с плавающей процентной ставкой (а такие займы удобны для финансирования оборотного капитала), а компании В – займ с фиксированной ставкой (например, для финансирования крупных инвестиций).

На рынках ссудного капитала компаниям А и В предлагаются следующие ставки:

Будем считать, что соблюдаются следующие условия:

1.

Это условие можно интерпретировать следующим образом: кредитный рейтинг компании А значительно выше кредитного рейтинга компании В. Поэтому компания А обладает абсолютным преимуществом на обоих рынках.

2.

Это означает, что у компании А относительное преимущество на рынке с фиксированными ставками, а у компании В относительное преимущество на рынке с плавающими ставками.

Например, если А – крупная компания, то она может привлекать средства за счет эмиссии облигаций с фиксированной процентной ставкой, а компания В этого не может. С другой стороны, компания В может быть лучше известна местному банку, который выдает кредиты с плавающей ставкой.

Покажем, что при соблюдении условий 1 и 2 можно построить процентный своп, выгодный обеим компаниям.

Компания А берет займ с фиксированной процентной ставкой, т. е. там, где у нее есть относительное преимущество, а компания В берет займ с плавающей процентной ставкой, т. е. там, где у нее относительное преимущество, и они договариваются об обмене.

В реальных условиях компаниям, желающим заключить своповый контракт, трудно найти друг друга. Поэтому им приходится прибегать к услугам посредника, в качестве которого может выступать, например, банк. При этом посредник берет на себя обязательство по гарантированию соблюдения условий контракта.

Обмен платежами при наличии посредника можно организовать так, как показано на рис. 2.4.

Если положительные числа δ₁, δ₂ и р удовлетворяют условию

то процентные платежи х_А и у_В можно подобрать так, чтобы компания А имела выигрыш, равный δ₁, компания В – выигрыш, равный δ₂, а маржа банка составила бы ρ.

Выясним, как организовать обмен платежами, если компании А необходим заем с плавающей процентной ставкой, компании В – заем с фиксированной ставкой, а маржа посредника должна составить 0,2 %.

Если компании согласны иметь одинаковый выигрыш 8, то должно соблюдаться следующее равенство:

Тогда δ = 0,2 %. Следовательно, обмен платежами можно организовать так, как показано на рис. 2.5.

2.15. Оценка стоимости процентных свопов

Предположим, что компания Х согласилась в течение определенного периода времени каждые полгода платить проценты от условной суммы Q по плавающей ставке LIBOR и получать взамен проценты от той же суммы Q по фиксированной ставке r_ф (рис. 2.6).

Нетрудно заметить, что поток платежей при таком обмене совпадает с потоком платежей от портфеля, состоящего из длинной позиции по облигации номиналом Q с полугодовыми купонами при ставке r_ф и короткой позиции по облигации такого же номинала Q с плавающей купонной ставкой, совпадающей с 6-месячной ставкой LIBOR. Тогда имеет место равенство:

Чтобы определить стоимость облигации с фиксированной купонной ставкой, необходимо знать соответствующие ставки для дисконтирования платежей от этой облигации. Если ставки дисконтирования определены, стоимость облигации с фиксированной купонной ставкой может быть найдена следующим образом:

При оценке облигации с плавающей купонной ставкой следует учитывать, что при отсутствии прибыльных арбитражных возможностей стоимость облигации должна совпадать с ее номиналом во все моменты времени, когда происходит оплата купонов.

Определив стоимости облигаций по формулам (2.30) и (2.31), можно найти стоимость процентного свопа по формуле (2.29).

Пример 2.16. Финансовый институт согласился получать 8 % от условной суммы 100 млн долл. в обмен на 6-месячную ставку LIBOR при обмене платежей каждые полгода. До окончания действия этого соглашения остается 15 месяцев. Ставка LIBOR, установленная тремя месяцами раньше, равна 10,1 %. Определим стоимость процентного свопа для финансового института, если ставки дисконтирования на 3, 9 и 15 месяцев равны соответственно 9,8, 10,2 и 10,8 %.

Следовательно, стоимость процентного свопа для финансового института составит:

Стоимость процентного свопа, представленного на рис. 2.6, можно найти, заменив его последовательностью форвардных контрактов на 6-месячную ставку LIBOR.

Стоимость процентного свопа для финансового института равна сумме приведенных стоимостей всех обменов платежами, т. е.

Пример 2.17. Определим стоимость процентного свопа из примера 2.16 по формуле (2.32).

Форвардные ставки LIBOR на 9 и 15 месяцев находятся следующим образом:

Тогда стоимость процентного свопа для финансового института равна

2.16. Валютные свопы

Валютным свопом (currency swap) называют соглашение об обмене основной суммы и фиксированных процентных платежей по займу в одной валюте на основную сумму и фиксированные процентные платежи в другой валюте.

Предположим, что на рынках ссудного капитала компаниям А и В предлагаются следующие фиксированные процентные ставки по займам в двух разных валютах:

Пример 2.18. Компании А предлагаются фиксированные процентные ставки 8 и 11,6 % по займам в американских долларах и в английских фунтах соответственно. Компании В предлагаются фиксированные процентные ставки 10,0 и 12,0 % по аналогичным займам. Выясним, можно ли организовать обмен процентными платежами так, чтобы обе компании имели одинаковый процентный выигрыш, а маржа посредника составила бы 0,2 %.

Соответствующий обмен платежами приведен на рис. 2.9.

Если некоторая компания Х участвует в валютном свопе, то:

• в заранее установленные сроки она получает процентные платежи по ставке q₁ от суммы Q₁ в одной валюте и выплачивает проценты по ставке q₂ от суммы Q₂ в другой валюте;

• в конечный момент времени компания Х получает сумму Q₁ в первой валюте, а передает сумму Q₂ во второй валюте.

Поток платежей по данному свопу совпадает с потоком платежей от портфеля, состоящего из длинной позиции по облигации номиналом Q₁ в первой валюте с фиксированной купонной ставкой q₁ и короткой позиции по облигации номиналом Q₂ во второй валюте с фиксированной купонной ставкой q₂.

Следовательно, в данный момент времени t стоимость валютного свопа V(t) для компании Х может быть найдена из следующего равенства:

Пример 2.19. Безрисковые процентные ставки в Японии и США одинаковы для всех сроков и равны соответственно 4 и 9 % (при непрерывном начислении процентов). Финансовый институт согласился получать 5 % от 1200 млн японских иен и платить 8 % от 10 млн долл. США. Обмен платежами должен происходить один раз в год. Определим стоимость данного валютного свопа для финансового института, когда до окончания действия контракта остается 3 года, а текущий обменный курс– 110 иен за 1 долл. США.

Стоимость трехлетней облигации номиналом 1200 млн иен с купонной ставкой 5 % может быть найдена следующим образом:

Аналогично стоимость трехлетней облигации номиналом 10 млн долл. с купонной ставкой 8 % будет равна:

Тогда стоимость валютного свопа для финансового института:

Любой валютный своп можно представить в виде последовательности форвардных контрактов на обмен валюты. В этом случае стоимость валютного свопа для компании Х можно найти по формуле:

Пример 2.20. Оценим стоимость валютного свопа из примера 2.19 с помощью формулы (2.34).

2.17. Опционы и их основные характеристики

Важнейшим видом так называемых производных ценных бумаг являются опционы (options). Существуют четыре основных типа опционов:

• европейские опционы колл (call option) и пут (put option);

• американские опционы колл и пут.

Европейский (EuTopean[-style]) опцион колл (пут) представляет его держателю право купить (продать) определенное количество некоторых активов по заранее установленной цене исполнения (stfike/expivation pvice) в момент окончания действия контракта.

Американский (Amencan[-style]) опцион колл (пут) предоставляет его держателю право купить (продать) определенное количество некоторых активов по заранее установленной цене исполнения в любое время до момента окончания действия контракта.

В опционном контракте всегда присутствуют две стороны: держатель опциона, имеющий право совершить или не совершить ту или иную операцию (купли или продажи), и сторона, выпустившая или подписавшая опцион, которая обязана совершить указанную операцию, если того пожелает держатель опциона. Так как стороны в опционном контракте не равноправны, то при заключении опционного контракта будущий держатель опциона обязан уплатить противоположной стороне определенную премию (prnmium). Эта премия, по существу, является ценой опциона.

Говорят, что сторона, купившая опцион, занимает длинную позицию по опциону (long h option), а сторона, выпустившая или подписавшая опцион, – короткую позицию (short h option).

Обычно опционный контракт имеет установленную дату окончания своего действия, называемую датой истечения опциона (maturity/вxpiration datв). Дату фактического выполнения соответствующей операции купли или продажи активов называют датой исполнения опциона (вхв^в datв). Для европейских опционов момент исполнения всегда совпадает с моментом его истечения. Для американских опционов момент исполнения может наступать до момента его истечения.

Опционные и форвардные контракты являются разновидностями форвардных сделок. Отметим основные различия этих двух видов контрактов.

1. Форвардный контракт – это всегда взаимное обязательство купить (соответственно продать) определенное количество базисных активов. Держатель же опционного контракта имеет право, а не обязательство купить или продать активы.

2. В момент заключения форвардного контракта обе стороны равноправны и подвергаются одинаковому риску. Поэтому в момент заключения форвардного контракта ни одна из сторон ничего не платит другой стороне. В момент же заключения опционного контракта стороны не равноправны. Одна сторона имеет право выбора купить или продать активы, а другая – обязана выполнить соответствующую операцию по требованию первой стороны. Именно поэтому при заключении опционного контракта первая сторона должна уплатить второй стороне, выпустившей или подписавшей опцион, определенную премию. Эта премия представляет собой плату за риск, которому подвергается сторона с короткой позицией по опциону из-за возможного неблагоприятного изменения цены базисных активов.

Рассмотрим европейский опцион колл с датой истечения Т при цене исполнения Х. Если S_T – цена базисных активов в момент Т, то возможны лишь следующие два случая:

В первом случае держатель опциона колл может купить по цене Х активы рыночной стоимостью S_T, большей Х. Поэтому держатель опциона исполнит свой опцион, и его выигрыш составит S_T – X.

Во втором случае держатель имеет право купить по цене Х активы стоимостью S_T, меньшей Х. Следовательно, в этом случае держатель опциона колл свой опцион исполнять не будет, и его выигрыш равен нулю.

Таким образом, выигрыш держателя опциона колл на момент исполнения опциона определяется в виде max {S_T – X, 0}. Графическое изображение

выигрыша держателя опциона колл представлено на рис. 2.10.

Аналогичные рассуждения показывают, что выигрыш держателя европейского опциона пут с датой истечения Т при цене исполнения Х можно записать в виде

Графическое изображение выигрыша держателя европейского опциона пут представлено на рис. 2.11.

В каждый момент времени t важную роль играет то, как цена исполнения Х соотносится со спот-ценой базисных активов S_T. Говорят, что опцион колл в данный момент времени t является опционом «с выигрышем» (in-the-money), «без выигрыша» (at-the-money) или «с проигрышем» (out-of-the-money), если соответственно:

Аналогично опцион пут является опционом «с выигрышем», «без выигрыша» или «с проигрышем», если соответственно:

2.18. Арбитражные соотношения для европейских опционов

Рассматриваются два рынка: спот-рынок некоторых активов и рынок опционов на эти активы.

Будем считать, что выполняются следующие условия:

• рынки являются совершенными (см. п. 2.2);

• можно неограниченно брать ссуды или кредитовать под соответствующую (по срокам) безрисковую процентную ставку;

• отсутствуют прибыльные арбитражные возможности.

1. Если с и p – стоимости европейских опционов колл и пут соответственно на одни и те же активы с ценой исполнения Х при дате истечения Т, то имеет место паритет цен:

Зная цену европейского опциона колл (пут), паритет цен европейских опционов позволяет оценить стоимость аналогичного по всем параметрам европейского опциона пут (колл). Кроме того, если паритет цен европейских опционов не соблюдается, то должны существовать прибыльные арбитражные стратегии.

Пример 2.21. Цена 6-месячного опциона колл на акцию с ценой исполнения

30 долл. равна 2 долл. Текущая цена акции– 29 долл., дивиденды по акции в размере 0,5 долл. ожидаются через 2 и 5 месяцев. Оценим стоимость аналогичного опциона пут, если безрисковая процентная ставка (при непрерывном начислении) для всех сроков равна 10 %.

Если же рыночная цена европейского опциона пут окажется равной 2,10 долл., то прибыльную арбитражную стратегию можно построить следующим образом.

Так как рыночная цена опциона пут оказалась заниженной (2,10 долл. < 2,51 долл.), то этот опцион следует купить. Чтобы стратегия стала безрисковой, одновременно покупаются базисные активы и производится продажа опциона колл. Для финансирования этих операций необходимо взять ссуду в размере

на срок в 6 месяцев под безрисковую процентную ставку 10 %.

Данная стратегия, очевидно, является безрисковой и не требует начальных затрат от инвестора, а в момент исполнения опционов инвестором будет получена прибыль:

2. В любой момент времени t до даты истечения европейских опционов на активы с известными доходами должны соблюдаться следующие ограничения:

Если не соблюдается одно из условий (2.37) или (2.38), то на рынке должны существовать прибыльные арбитражные стратегии.

Пример 2.22. Рассмотрим 10-месячный европейский опцион колл на акцию, по которой через 4 и 8 месяцев ожидаются дивиденды в размере 2 и 3 долл. соответственно. Определим нижнюю и верхнюю границы для стоимости опциона с ценой исполнения 96,60 долл., если цена базисной акции составляет 100 долл., а безрисковые процентные ставки (при непрерывном начислении) на 4, 8 и 10 месяцев равны 6, 6,5 и 7 % соответственно.

Таким образом, при отсутствии прибыльных арбитражных возможностей цена европейского опциона колл должна находиться между 4,04 и 95,17 долл.

Если же рыночная цена данного опциона колл окажется равной 3,00 долл., то инвестор может: купить опцион колл, произвести короткую продажу акции и полученные средства S- с^рын = 100-3 = 97 инвестировать на 10 месяцев под безрисковую процентную ставку 7 %. В момент истечения опциона инвестор либо купит акцию на спот-рынке (если S_T < X), либо купит ее по цене Х, согласно опционному контракту, и, компенсировав недополученные дивиденды, вернет ее прежнему владельцу.

Прибыль инвестора на момент Т составит не менее чем

Построенная стратегия, очевидно, является прибыльной арбитражной стратегией.

Для европейских опционов на активы с постоянной дивидендной доходностью q неравенства (2.37) и (2.38) принимают вид:

3. Если с₁, с₂ (p₁, p₂) – стоимости европейских опционов колл (пут) на одни и те же активы с ценами исполнения X₁, X₂ (X₁ < X₂) при дате истечения Т, то

Важно отметить, что чем больше цена исполнения, тем меньше цена европейского опциона колл и тем больше цена европейского опциона пут.

4. Если даны три европейских опциона колл (пут) на одни и те же активы с ценами исполнения X₁, X₂ и X₃ соответственно, причем

Данное утверждение позволяет сравнивать цены европейских опционов с разными ценами исполнения, но одинаковыми остальными характеристиками.