Алексей Лобанов
Энциклопедия финансового риск-менеджмента

2.30. Оценка стоимости облигаций со встроенными опционами

Будем считать, что построена биномиальная модель процентной ставки с годовыми купонами следующего вида (рис. 2.32).

Цена отзывной облигации в каждый момент времени должна совпадать с приведенной стоимостью ожидаемого потока платежей от этой облигации. Следовательно, имеют место следующие соотношения:

Пример 2.45. Дана 8 %-ная облигация номиналом 100 долл. с годовыми купонами, отзываемая через 2 года по номиналу, срок до погашения которой 4 года. Расчет цены облигации в условиях биномиальной модели процентной ставки из примера 2.41 приведен на рис. 2.33.

Таким образом, текущая цена данной отзывной облигации равна 100,30 долл. Так как цена аналогичной безопционной облигации равна 100,44 долл. (см. пример 2.42), то текущая цена опциона отзыва, встроенного в данную облигацию, определяется следующим образом:

Пример 2.46. В условиях примера 2.45 предположим, что облигация является «продаваемой» после 2 лет по номиналу. Расчет цены такой облигации приведен на рис. 2.34.

Таким образом, текущая цена данной «продаваемой» облигации равна 102,81 долл., а цена опциона продажи, встроенного в облигацию, может быть найдена следующим образом:

3. Пусть дана n-летняя облигация номиналом А с годовой плавающей купонной ставкой при наличии встроенного кэпа на уровне x%. Предположим, что плавающая купонная ставка определяется биномиальной моделью, изображенной на рис. 2.28.

Так как цена облигации в каждый момент времени должна совпадать с приведенной стоимостью ожидаемого потока платежей, то:

Пример 2.47. Дана 4-летняя облигация с годовой плавающей ставкой, определяемой биномиальной моделью из примера 2.41, при наличии встроенного кэпа на уровне 8 %.

Расчет цены облигации приведен на рис. 2.35.

Цена безопционной облигации с плавающей купонной ставкой в моменты времени, когда производятся купонные платежи, всегда равна ее номиналу. Следовательно, текущая цена «кэпового» опциона, встроенного в облигацию, равна 100,00- 97,61 = 2,39 долл.

Аналогичным образом можно находить цены и других облигаций со встроенными опционами.

Замечание 1. Предположим, что ведется активная торговля некоторой облигацией со встроенным опционом и нам известна рыночная цена этой облигации. С другой стороны, по заданному значению волатильности а можно построить биномиальную модель процентной ставки, на основе которой можно найти теоретическую цену данной облигации. Значение а, при котором теоретическая цена облигации совпадает с ее рыночной ценой, называют предполагаемой волатильностью процентной ставки (implied interest rate volatility). Найти предполагаемую волатильность можно, например, методом проб и ошибок. Предполагаемую волатильность процентной ставки можно использовать для оценки других облигаций со встроенными опционами.

Замечание 2. На основе биномиальной модели можно оценивать стоимость и других финансовых инструментов, производных от процентных ставок.

2.31. Меры риска для облигаций со встроенными опционами

Рассмотрим некоторую облигацию со встроенным опционом, текущая рыночная стоимость которой равна V₀.

Предположим, что построена биномиальная модель процентной ставки. Тогда на основе этой биномиальной модели можно определить теоретическую стоимость данной облигации. Теоретическая стоимость облигации со встроенным опционом может отличаться от ее рыночной стоимости.

Величина Δz, которую необходимо добавить ко всем форвардным процентным ставкам биномиальной модели, чтобы теоретическая стоимость облигации со встроенным опционом совпала с ее рыночной стоимостью, называется спредом с учетом опциона (optlon-adjйsted spread – OAS).

Спред с учетом опциона является мерой того, насколько облигация со встроенным опционом отличается от аналогичной безопционной облигации.

При заданной рыночной стоимости облигации с возрастанием волатильности процентной ставки спред с учетом опциона для отзывной облигации уменьшается, а для «продаваемой» облигации, наоборот, увеличивается.

Пример 2.48. Предположим, что текущая рыночная стоимость отзывной облигации, рассмотренной в примере 2.45, равна 99,43 долл.

Расчеты, приведенные на рис. 2.36, показывают, что спред с учетом опциона для данной облигации составляет 29,9 базисного пункта.

Так как теоретическая цена отзывной облигации, равная 99,429 долл., практически совпадает с ее рыночной ценой, то спред с учетом опциона действительно составляет 29,9 базисного пункта (рис. 2.36).

Кроме спреда с учетом опциона в качестве меры риска облигации со встроенным опционом рассматривают эффективную дюрацию и эффективную выпуклость этой облигации.

Эффективная дюрация (effective duration) и эффективная выпуклость (effective convexity) облигации со встроенным опционом определяются следующим образом:

Для определения стоимости V₊(V_-) можно поступить следующим образом:

1) выбрать достаточно малую величину Δу > 0;

2) ко всем заданным рыночным доходностям прибавить (отнять) Δу и построить биномиальную модель процентной ставки при новых рыночных доходностях;

3) ко всем форвардным процентным ставкам добавить спред с учетом опциона;

4) по полученной модели процентной ставки рассчитать стоимости V₊(V_-).

Пример 2.49. Рассмотрим отзывную облигацию из примера 2.48. Исходная биномиальная модель процентной ставки была построена на основе рыночных доходностей: 6,00; 6,606; 7,272 и 8,00 % (см. пример 2.43). Начальная рыночная цена облигации V₀ = 99,43 долл.

При сдвиге кривой рыночных доходностей на величину Δу = 10 базисных пунктов рыночные доходности окажутся равными 6,10; 6,706; 7,372 и 8,10 %, а биномиальная модель процентной ставки примет вид, указанный на рис. 2.37.

Добавив ко всем форвардным процентным ставкам спред с учетом опциона, равный 29,9 базисных пункта (см. пример 2.48), найдем стоимость V₊. Расчеты приведены на рис. 2.38. Следовательно, V₊ = 99,1088 долл.

Если все рыночные доходности уменьшатся на Δу = 10 базисных пунктов, то они окажутся равными 5,9; 6,506; 7,172 и 7,9 % соответственно. Соответствующая биномиальная модель процентной ставки представлена на рис. 2.39.

Расчет стоимости V_- приведен на рис. 2.40. Таким образом, V_- = 99,7399 долл. Эффективная дюрация и эффективная выпуклость облигации могут быть найдены по формулам (2.64) и (2.65):

2.32. Оценка стоимости финансовых инструментов, производных от процентной ставки

Для оценки стоимости финансовых инструментов, производных от процентных ставок, используются модели временной структуры процентных ставок с непрерывным временем.

Временная структура процентных ставок определяется внутренними доходностями облигаций с нулевыми купонами при различных сроках до погашения. Таким образом, процентная ставка при непрерывном начислении в момент времени t по инвестициям на θ лет удовлетворяет равенству:

Следовательно, зная траекторию краткосрочной процентной ставки на некотором временном промежутке, можно определить и временную структуру процентных ставок на этом промежутке.

Во многих моделях временной структуры процентных ставок эволюция краткосрочной процентной ставки задается с помощью стохастических дифференциальных уравнений.

Предположим, что краткосрочная процентная ставка r_т определяется случайным процессом Ито, т. е.

и удовлетворяет начальному условию r_t = r₀.

Рассмотрим финансовый инструмент, производный от процентной ставки, по которому не выплачиваются доходы. Стоимость такого инструмента у в момент τ определяется двумя факторами: краткосрочной процентной ставкой r_τ (далее – r) и самим моментом τ, т. е.

При отсутствии арбитражных возможностей стоимость любого финансового инструмента, по которому не выплачиваются доходы, должна удовлетворять следующему дифференциальному уравнению в частных производных:

Таким образом, чтобы найти стоимость финансового инструмента, производного от процентной ставки, необходимо задать коэффициенты α(τ, r) и σ(τ, r) стохастического дифференциального уравнения, которому удовлетворяет краткосрочная процентная ставка, определить рыночную цену риска λ(τ, r) и найти решение дифференциального уравнения (2.66) при соответствующих граничных и начальных условиях.

В мире, нейтральном к риску, рыночную цену риска λ(τ, r) естественно считать равной нулю.

Если выполняются условия:

то стоимость облигации с нулевым купоном Р^Т(τ) номиналом 1 долл. и датой погашения Т можно найти по формуле:

Пример 2.50. Краткосрочная процентная ставка в мире, нейтральном к риску, определяется стохастическим дифференциальным уравнением:

Текущее значение краткосрочной процентной ставки равно 8 %. Найдем стоимость облигации с нулевым купоном номиналом 100 долл., до погашения которой остается 2 года.

В данном случае

Следовательно, стоимость облигации можно найти по формуле (2.67):

2.33. Модели Рендлмана-Барттера, Васичека и Кокса- Ингерсолла-Росса

2.33.1. Модель Рендлмана-Барттера (Rendleman-Bartter model)

Предполагается, что краткосрочная процентная ставка r_τ в мире, нейтральном к риску, определяется геометрическим броуновским движением

и удовлетворяет начальному условию r_t = r₀.

В этом случае краткосрочная процентная ставка r _т распределена логнормально с параметрами:

Для оценки стоимости финансовых инструментов, производных от процентной ставки, можно использовать стандартную биномиальную модель с показателями

Замечание. В модели Рендлмана-Барттера ожидаемое значение краткосрочной процентной ставки r_τ равно r₀e^α(τ-t). Это означает, что в модели не учитывается эффект возвращения к среднему (mean reversion): если процентная ставка сильно отклоняется от некоторого долгосрочного среднего значения, то в дальнейшем проявляется тенденция возвращения процентной ставки к среднему значению.

2.33.2. Модель Васичека (Vasicek model)

Предполагается, что краткосрочная процентная ставка в мире, нейтральном к риску, определяется стохастическим дифференциальным уравнением

и удовлетворяет начальному условию r_t = r₀.

Это означает, что краткосрочная процентная ставка r_τ распределена нормально с параметрами:

Стоимость облигации с нулевым купоном номиналом 1 долл. и датой погашения Т может быть найдена по формуле (2.67), так как в данном случае:

Пример 2.51. Краткосрочная процентная ставка в мире, нейтральном к риску, удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению:

Текущее значение краткосрочной процентной ставки равно 8 %.

Определить текущую стоимость облигации с нулевым купоном номиналом 100 долл., до погашения которой остается два года.

В условиях модели Васичека стоимость европейских опционов колл (с_τ) и пут (р_τ) в момент τ на облигацию с нулевым купоном можно найти по формулам:

Замечание. Для доказательства достаточно проверить, что c_τ и p_τ удовлетворяют дифференциальному уравнению в частных производных (2.66) и соблюдаются соответствующие граничные и конечные условия.

Пример 2.52. Краткосрочная процентная ставка в мире, нейтральном к риску, удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению:

Текущее значение краткосрочной процентной ставки равно 8 %.

Найдем стоимость европейского опциона колл на облигацию с нулевым купоном номиналом 1000 долл., до погашения которой остается 3 года, если цена исполнения опциона 800 долл., а до его истечения 2 года.

2.33.3. Модель Кокса-Ингерсолла-Росса (Cox-Ingersoll-Ross model)

Предполагается, что краткосрочная процентная ставка r_τ в мире, нейтральном к риску, определяется стохастическим дифференциальным уравнением

Стоимость облигации с нулевым купоном номиналом 1 долл. и датой погашения Т может быть найдена по формуле (2.67), так как в данном случае:

Решив систему дифференциальных уравнений (2.72), получим, что

Пример 2.53. Краткосрочная процентная ставка в мире, нейтральном к риску, удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению

Текущее значение краткосрочной процентной ставки равно 8 %. Определим стоимость облигации с нулевым купоном номиналом 1000 долл., до погашения которой остается 2 года.

В данном случае

Замечание. Были выведены формулы для оценки европейских опционов на облигацию с нулевым купоном. Однако эти формулы значительно сложнее тех, которые справедливы для модели Васичека.

2.34. Неарбитражные модели временной структуры процентных ставок

В моделях, рассмотренных в п. 2.33, зная краткосрочную процентную ставку в текущий момент, можно определить и текущую временную структуру процентных ставок. Однако эта временная структура процентных ставок необязательно будет совпадать с рыночной временной структурой процентных ставок.

Неарбитражные модели временной структуры процентных ставок строятся так, чтобы в текущий момент временная структура процентных ставок, определяемая моделью, совпала с рыночной структурой процентных ставок.

К неарбитражным моделям временной структуры процентных ставок относятся модели Хо-Ли и Халла-Уайта.

2.34.1. Модель Хо-Ли (Ho-Lee model)

Предполагается, что краткосрочная процентная ставка в мире, нейтральном к риску, определяется стохастическим дифференциальным уравнением

и удовлетворяет начальному условию r_t = r₀.

Это означает, что краткосрочная процентная ставка r_τ распределена нормально с параметрами

Стоимость облигации с нулевым купоном номиналом 1 долл., дата погашения которой Т, можно найти в следующем виде:

Пример 2.54. Краткосрочная процентная ставка в мире, нейтральном к риску, удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению

Текущее значение краткосрочной процентной ставки равно 6 %.

Определим текущую временную структуру процентных ставок.

В данном случае

В таблице приведены значения процентной ставки в зависимости от сроков:

Замечание. Для того чтобы текущая временная структура процентных ставок, определяемая моделью Хо-Ли, совпадала с рыночной структурой процентных ставок, функцию η(τ) необходимо выбрать следующим образом:

Если краткосрочная процентная ставка r_τ определяется моделью Хо-Ли, то стоимость европейских опционов колл и пут на облигацию с нулевым купоном номиналом L и датой погашения T, можно найти по формулам:

Пример 2.55. Краткосрочная процентная ставка удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению (в мире, нейтральном к риску)

Текущее значение краткосрочной процентной ставки равно 6 %.

Найдем текущую стоимость европейского опциона пут на облигацию с нулевым купоном номиналом 1000 долл., до погашения которой остается 3 года, если цена исполнения опциона 800 долл., а до его истечения 2 года. В данном случае

2.34.2 Модель Халла-Уайта (Hull-White model)

Предполагается, что краткосрочная процентная ставка в мире, нейтральном к риску, определяется стохастическим дифференциальным уравнением

и удовлетворяет начальному условию r_t = r₀.

В модели Халла-Уайта краткосрочная процентная ставка r_τ распределена нормально с параметрами

Стоимость облигации с нулевым купоном номиналом 1 долл. и датой погашения T можно найти в следующим виде:

Пример 2.56. Краткосрочная процентная ставка в мире, нейтральном к риску, удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению

Текущее значение краткосрочной процентной ставки равно 6 %. Определим текущую временную структуру процентных ставок.

В данном случае

Следовательно,

Ниже приведены значения процентных ставок в зависимости от сроков:

Замечание. Чтобы текущая временная структура процентных ставок, определяемая моделью Халла-Уайта, совпадала с рыночной структурой процентных ставок, функцию η(τ) необходимо выбрать следующим образом:

Если краткосрочная процентная ставка r_τ определяется моделью Халла-Уайта, то стоимость европейских опционов колл и пут на облигацию с нулевым купоном номиналом L, дата погашения которой T, можно найти по формулам:

2.35. Оценка стоимости европейских опционов на купонные облигации

Предполагается, что краткосрочная процентная ставка определяется стохастическим дифференциальным уравнением

причем в любой момент времени т при увеличении краткосрочной процентной ставки уменьшаются стоимости всех облигаций с нулевым купоном.

Заметим, что все модели, рассмотренные в пп. 2.33 и 2.34, удовлетворяют этому условию.

Рассмотрим европейский опцион колл на купонную облигацию, по которой после даты истечения опциона T^* обещают выплатить денежные суммы

Обозначим через r_x значение краткосрочной процентной ставки в момент Т*, при котором стоимость рассматриваемой облигации в этот момент совпадает с ценой исполнения опциона X.

Из данного соотношения следует, что при отсутствии арбитражных возможностей стоимость европейского опциона колл на купонную облигацию должна совпадать со стоимостью портфеля, содержащего q_i (i = 1, 2…., n) европейских опционов колл с ценой исполнения X₁ = р^Ti (T^*, r_x) на облигацию номиналом 1 долл. с нулевым купоном, дата погашения которой T_i.

Таким образом, чтобы оценить стоимость европейского опциона колл на купонную облигацию, необходимо:

1) определить значение краткосрочной процентной ставки г_х, при котором стоимость купонной облигации в момент истечения опциона Т равна цене исполнения этого опциона X;

2) найти стоимость облигации с нулевым купоном p^T (Т^*, r_х), i = 1, 2…., n, в момент Т* если номинал облигации равен 1 долл., дата погашения облигации Т_i, а краткосрочная процентная ставка в момент Т равна r_х;

3) оценить стоимость европейского опциона колл с ценой исполнения X_i = p^T_i (Т*, r_х) на облигацию номиналом 1 долл. с нулевым купоном, дата погашения которой Т_i, i = 1, 2…. n;

4) стоимость европейского опциона колл на купонную облигацию найти в виде линейной комбинации стоимостей опционов на облигации с нулевым купоном.

Замечание. Аналогичным образом находится стоимость европейского опциона пут на купонную облигацию.

Пример 2.57. Краткосрочная процентная ставка в мире, нейтральном к риску, определяется стохастическим дифференциальным уравнением

Текущее значение (в момент т) краткосрочной процентной ставки равно 6 %.

Определим стоимость двухлетнего европейского опциона пут с ценой исполнения 980 долл. на 5 %-ную облигацию с полугодовыми купонами номиналом 1000 долл., до погашения которой осталось 3 года.

Цены исполнения европейских опционов пут на облигации с нулевым купоном:

Для первого опциона пут на облигацию с нулевым купоном имеем:

Для второго опциона пут на облигацию с нулевым купоном имеем:

Следовательно, стоимость европейского опциона пут на данную купонную облигацию равна

Литература

1. Буренин А. Н. Форварды, фьючерсы, опционы, экзотические и погодные производные. 2-е изд. – М.: Научно-техническое общество им. акад. С. М. Вавилова, 2007.

2. Das S. Swap and derivatives financing. – N.Y.: McGraw-Hill, 1994.

3. Elton E. J., Gruber M. J. Modern portfolio theory and investment analysis. 5th ed. – N.Y.: John Wiley & Sons, Ltd., 1995.

4. Figlewsky S., Silber W. L., Subrahmanyan M. G. – Financial options: From theory to practice. – N.Y.: McGraw-Hill, 1990.

5. Hull J. C. Options, futures, and other derivatives. 7th ed. – L.: Prentice Hall, 2008.

6. Martellini L., Priaulet P. Fixed-income securities. – John Wiley & Sons, Ltd., 2001.

III. Управление рыночными рисками^[24]
М. А. Рогов

3.1. Введение

Настоящая глава посвящена управлению рыночными рисками. По ходу изложения материала нередко будет возникать потребность в более подробных пояснениях. Поэтому основной текст сопровождается самостоятельными примерами, посвященными отдельным общим и частным вопросам риск-менеджмента, новейшим разработкам, а также российской специфике предмета^[25]. Общие для различных направлений риск-менеджмента вопросы могут освещаться в настоящей главе несколько иначе, чем авторами смежных глав. Это не снижает правомерности выводов, но позволяет по-другому взглянуть на проблему.

Следует упомянуть, что материал настоящей главы опирается на базовые понятия количественного анализа рынков капиталов, производных финансовых инструментов и др., которые предполагаются усвоенными читателями ранее.

Помня, что со времен Мартина Лютера образование становится национальным при условии обучения на национальном языке, автор старался не злоупотреблять иностранной лексикой, но в связи с тем, что языком оригинала большинства ведущих работ в этой области (а также экзаменов по курсу) остается американский вариант английского языка, специальные термины и ключевые понятия, вводимые или используемые в настоящей главе, выделены жирным шрифтом и по возможности (обычно – после первого упоминания в тексте) снабжены в скобках их аналогами на английском языке для удобства при чтении литературы и подготовке к экзамену.