полная версия

Петр Путенихин
Силы притяжения, действующие на тело внутри диска

3. Подбор функции плотности

Можно отметить, что использование гладких аналитических кривых для функции плотности даёт сглаженное, плавное приближение к кривой вращения Млечного Пути, её графику, формирует достаточно плавную кривую на всём её протяжении. Иначе говоря, переменная плотность позволяет получить кривые вращения с различным уклоном. Таким образом, следует предположить, что можно построить кривую вращение любой формы, в том числе, и максимально похожую на кривую вращения галактики Млечный Путь. В самом деле, спиральный диск галактики вполне можно рассматривать как сплошной, но имеющий переменную плотность вещества.

Проведенные вычисления достаточно отчётливо показали такую возможность корректировки кривой вращения изменением функции плотности. Однако сложность подбора функции плотности, в свою очередь, показала, что для дальнейших построений требуется разработать какой-то механизм, процедуру, облегчающие формирование функции плотности.

Функция плотности, как и все графики на диаграммах, в наших вычислениях состоит из 1000 точек, поэтому изменить их все вряд ли возможно и необходимо. Поэтому мы делим весь интервал функции на 10 участков, на которых криволинейный график функции плотности заменяем прямыми линиями. Использование вместо прямых линий парабол или гипербол оказалось неоправданно сложным, поскольку в некоторых случаях изломы сохранялись и даже возникали неестественные отклонения.

Изменения производим в узлах этих прямолинейных участков, в точках излома, соединения линий. Используем 11 точек, совпадающих с линиями сетки графика: r₀, r_0,5, r₁…r₁₀. Графику плотности в начальной части присваиваем ещё один параметр – значение максимума, пика графика.

Каждый участок задаём координатами начала и конца (x_нy_н – x_кy_к). Уравнение линии определяем по этим точкам. Сначала находим коэффициент наклона прямой

Свободный член находим из первого уравнения

Система уравнений для построения обобщенно имеет вид

В первом варианте на начальном интервале мы использовали параболическую кривую, подобранную ранее. Для формирования рабочей функции плотности была использована исходная функция плотности (2.1), график которой после аппроксимации отрезками прямых приобрёл следующий вид

Рис.3.1. Исходная функция плотности

Используя этот график плотности диска, до его коррекции строим исходную кривую вращения.

Рис.3.2. Кривая вращения по исходной функции плотности

Отмечаем, что кривая вращения явно, сильно отличается от кеплеровской. Теперь вносим изменение в функцию плотности. Для начала корректируем точку x₁

Рис.3.3. Кривая вращения после деформации исходной функции плотности

Изменение кривой вращения видны достаточно отчётливо. Напомним, что нас интересует функция плотности, приводящая к кривой вращения нашего диска, подобной наблюдаемой кривой вращения галактики Млечный Путь. Последовательно, интуитивно вносим изменения в другие точки функции плотности. График формируемой кривой вращения заметно приближается к кривой вращения галактики.

Рис.3.4. Первое приближение кривой вращения к эталону

Поскольку пик кривой вращения диска был заметно смещён вправо от пика кривой вращения галактики Млечный Путь, мы увеличили пик плотности диска до 50. Смещение уменьшилось. На следующих рисунках приведены результаты других последовательных эмпирических приближений, подгонки функции плотности

Рис.3.5. a)…д) – последовательные приближения кривой вращения v(r) диска к эталону – кривой вращения v_mw(r) галактики Млечный Путь

На рис.3.5а)…д) приведены кривые вращения диска и соответствующие им функции плотности, полученные в результате их последовательной деформации. Кривые вращения заметно приблизились к кривой вращения галактики Млечный Путь. Пробуем ещё точнее сблизить графики. Заключительный этап такого подбора приведён на следующем рисунке. Как видим, кривая вращения диска выглядит довольно близкой к наблюдаемой кривой вращения галактики Млечный Путь

Рис.3.6. Подобранная функция плотности ρ(r) и соответствующая ей кривая вращения v(r) приемлемо, максимально совпадающая с эталонной, наблюдаемой кривой вращения v_mw(r) галактики Млечный Путь

Результат, совпадение кривых вращения на рис.3.6 следует признать хорошим. Некоторые специфические отклонения в начале и конце кривых можно объяснить. На начальном этапе достичь хорошей точности не позволяет дискретность графика. Первые 10 точек выводятся с погрешностью от 10 до 200%. Например, различия между первым и вторым шагами двукратные. В конечной точке график кривой вращения диска связан со сложностью подбора функции плотности. Интервал слишком длинный для достаточно подробной детализации функции.