Петр Путенихин
Гравитационная воронка
3. Диаграммы Минковского
Таким образом, мы видим, что распространённый пример, метафору с резиновым листом и Фландерн и, скорее всего, многие другие читатели трактуют неверно. В метафоре резиновый лист – это лишь образная иллюстрация. На самом деле лист следует рассматривать не как трёхмерное пространство, искривлённое тяжёлым телом. Это пространство двухмерное, на него, строго говоря, нужно смотреть сверху. Кроме того, следует учитывать, что, согласно ОТО, искривляется не просто пространство, а пространство-время! Следует понимать, что третья пространственная координате на рисунках с резиновым листом отсутствует, по этой оси на аксонометрии изображено не пространственное измерение, а график, зависимость силы притяжения от расстояния до центра, до массивного тела.
Также следует заметить, что само по себе искривление пространства-времени (впрочем, как и само пространство-время) не наблюдаемо, его невозможно продемонстрировать, это просто физический параметр, свойство пространства-времени. Как именно искривляется пространство-время? Это искривление можно представить примерно так же, как искривление воды в глубине океана. Действительно, пространство можно аллегорически рассматривать как океан: и там и там есть объемлющая среда, в которой находятся объекты. Но описать искривление этой среды весьма проблематично. Это искривление выглядит как весьма туманная абстракция. Конечно, её происхождение можно вывести последовательно из пространств меньшей мерности. Довольно просто представить искривление одномерного пространства, прямой линии. Так же несложно представить и искривление двухмерного пространства – плоскости. В обоих случаях искривление – это перемещение, вытягивание, сдвиг части пространства в пространство большей мерности. Линия может искривиться на плоскости или в трёхмерном пространстве. Плоскость может искривиться в трёхмерном пространстве. Это, так сказать, визуальное, наблюдаемое искривление.
Поэтому, видимо, правильнее говорить о наблюдении в искривлённом пространстве-времени мировых линий, представляя их индикаторами этого искривления. Поскольку в традиционном примере использованы только две пространственные координаты, то можно легко показать искривлённое "двухмерное +1" пространство-время. Нужно просто построить аксонометрию. Но ещё проще показать такое искривлённое пространство-время в его двухмерном, ограниченном виде: "одномерное +1" пространство-время. Диаграмма плоская, классическая, в координатах {r0ct}.
Решить проблему, видимо, позволяет формализм мировых линий, геодезических. Действительно, каждое событие имеет собственную мировую линию или геодезическую. Мы будем рассматривать свободное движение, то есть, мировые линии, являющиеся геодезическими. [3]
Рассматривать это движение в нашем случае удобно на классических диаграммах Минковского. Впервые способ наглядного изображения физической реальности в виде четырехмерного пространства событий, в котором каждая точка представляет собой некоторое событие, определяемое тремя пространственными и одной временной координатами Герман Минковский предложил в 1908 году в докладе «Пространство и время». Эти точки четырехмерного пространства-времени Минковского являются математическими абстракциями, которые не обладают ни пространственным объемом ни временной длительностью. В дальнейшем эти изображения получили название «диаграммы Минковского» и считаются наглядным способом демонстрации сущности специальной относительности и используются для доказательства её истинности.
В общем, универсальном виде диаграмм Минковского имеет примерно вид, как показано на рис.3.1. Текущий момент времени изображен на диаграмме оранжевой линией «настоящего времени в неподвижной системе отсчета (покоя)» или кратко «настоящее покоя». Тонкие штриховые линии, исходящие из начала координат и имеющие угол наклона к оси времени, равный 45о, ‑ это мировые линии света. Все мировые линии движущихся систем отсчета могут иметь угол наклона к оси времени только меньше 45о.
Рис.3.1. Диаграмма Минковского для двух движущихся систем отсчета A и B с точки зрения средней, неподвижной системы отсчёта C
Также на диаграммы мы добавили традиционные вспомогательные линии (калибровочные кривые, «семейство гипербол»). В литературе у них нет общепризнанного названия, поэтому для определенности мы называем их изохронами. Такое название вполне допустимо, оно точно отражает смысл этих линий. Изохрона отсекает на всех без исключения мировых линиях ИСО, движущихся из начала координат, отрезки равного времени, прошедшего от начала движения. Понятно, что изохрон на диаграмме Минковского может быть бесчисленное множество – по величине времени, отсекаемого на мировых линиях ИСО. Все они описываются уравнениями гипербол
Например, изохрона 120, изображенная на приведённой диаграмме желтой штриховой линией, показывает, что во всех ИСО, мировые линии которых дошли до неё, прошло ровно ti=120 секунд от начала движения по их собственным часам.
Все изохроны на диаграммах Минковского располагаются «вдоль» вертикальной оси ветвями вверх (движение в будущее) или вниз (движение из прошлого). К изохронам «ортогонально» располагаются соответствующие гиперболы, которые мы называем «изотрасами», – ветвями вправо (удаление от неподвижной ИСО вправо) или влево (удаление от ИСО влево). Это линии, отсекающие на мировых линиях расстояний отрезки равных дистанций (трасс), то есть, показывающие одинаковое расстояние от начала координат во всех движущихся ИСО. Уравнения изотрас
На рисунке красными линиями показан «комплект» изохроны 80 и соответствующей ей изотрасы 80. Изохроны и изотрасы на бесконечности сколь угодно близко приближаются к мировым линиям света, но никогда не коснутся их.
Для демонстрации приведём анимацию [3], на которой показана динамическая диаграмма Минковского для эксперимента с обменом световыми сигналами между двумя системами отсчета A и B с точки зрения неподвижной системы C.
На приведённой динамической диаграмме Минковского используется изменяющийся, динамический масштаб, то есть, значения возле меток на осях координат постоянно возрастают вместе с течением времени. В этом случае линия настоящего и начало координат остаются неподвижными. Если использовать традиционный фиксированный масштаб, то в приведённой анимации квадрат 80х80 пространственно-временных координат в начале движения, преобразуется в конце движения в квадрат 1000х1000, то есть исходную диаграмму к этому моменту необходимо увеличить в 12,5 раз. Динамическое масштабирование даёт один и тот же размер диаграммы в обоих случаях, изменяется только цена делений осей.
Другим следствием такого масштабирования является то, что движущиеся во времени события и неподвижная (лабораторная) ИСО с линией "настоящее покоя" окажутся "замороженными" в своих определенных, начальных точках диаграммы. Наоборот, события, имеющие определённое, фиксированное время свершения, на диаграмме будут двигаться по своим мировым линии к началу координат, то есть, как бы в обратном направлении, в прошлое, оставаясь при этом в фиксированной точке пространства-времени. Такая диаграмма будет напоминать картину удаляющегося ландшафта: так выглядят деревья, дома, люди, если смотреть на них через заднее стекло уезжающего автомобиля. Все пропорции сохраняются, уменьшаются только размеры.
Теперь рассмотрим другой, простейший случай – тело m находится в покое на удалении R0 от массивного тела M. Это массивное тело искривляет пространство-время вокруг себе, что приводит в движение неподвижное изначально тело m. Определим закон движения этого тела. Изначально на него действует ньютонова сила
